Режимы динамической системы

1. Состояние системы и его оценка
Понятие состояние характеризует мгновенную «фотографию», временной «срез» системы.

Состояние системы в определенный момент времени — это множество ее существенных свойств в этот момент времени.

При этом можно говорить о состоянии входов, внутреннем состоянии и состоянии выходов системы.
Состояние входов системы представляется вектором значений входных параметров:
X = (x₁,...,x_n) и фактически является отражением состояния окружающей с реды.
Внутреннее состояние системы представляется вектором значений ее внутренних параметров (параметров состояния): Z = (z₁,...,z_v) и зависит от состояния входов Х и начального состояния Z₀:
Z = F₁(X,Z₀).

Пример. Параметры состояния: температура двигателя самолета, психологическое состояние пилота и экипажа, изношенность оборудования, уровень квалификации экипажа самолета. Внутреннее состояние практически ненаблюдаемо, но его можно оценить по состоянию выходов (значениям выходных переменных) системы Y = (y₁...y_m) благодаря зависимости
Y= F₂(Z).
При этом следует говорить о выходных переменных в широком смысле: в качестве координат, отражающих состояние системы, могут выступать не только сами выходные переменные, но и характеристики их изменения - скорость, ускорение и т. д. Таким образом, внутреннее состояние системы S в момент времени t может характеризоваться множеством значений ее выходных координат и их производных в этот момент времени:

Пример. Состояние финансовой системы России можно характеризовать не только курсом рубля к доллару, но и скоростью изменения этого курса, а также ускорением (замедлением) этой скорости.
Однако необходимо заметить, что выходные переменные не полностью, неоднозначно и несвоевременно отражают состояние системы.
Примеры.
1. У больного повышенная температура {у > 37 °С). но это характерно для различных внутренних состояний.
2. Если у предприятия низкая прибыль, то это может быть при разных состояниях организации.
2. Процесс
Если система способна переходить из одного состояния в другое (например, S1→S2→S3...), то говорят, что она обладает поведением - в ней происходит процесс.
В случае непрерывной смены состояний, процесс Р можно описать функцией времени:
P=S(t),

а в дискретном случае — множеством: P = {St₁, St₂….},
По отношению к системе можно рассматривать два вида процессов:
внешний процесс - последовательная смена, воздействий на систему, т. е. последовательная смена состояний окружающей среды;
внутренний процесс - последовательная смена состояний системы, которая наблюдается как процесс на выходе системы.
Дискретный процесс сам может рассматриваться как система, состоящая из совокупности состояний, связанных последовательностью их смены.
3. Статические и динамические системы
В зависимости от того, изменяется ли состояние системы со временем, ее можно отнести к классу статических пли динамических систем.
Статическая система - это система, состояние которой практически не изменяется в течение определенного периода
Динамическая система - это система, изменяющая свое состояние во времени.
Итак, динамическими будем называть такие системы, в которых происходят какие бы то ни было изменения со временем.

Примеры.
1. Панельный дом — система из множества взаимосвязанных панелей — статическая система.
2. Экономика любого предприятия — это динамическая система.
В дальнейшем нас будут интересовать только динамические системы.
4. Функция системы
Свойства системы проявляются не только значениями выходных переменных, но и ее функцией, поэтому определение функций системы является одной из первых задач ее анализа или проектирования
Понятие «функция» имеет разные определения: от общефилософских до математических.
Функция как общефилософское понятие.

Общее понятие функции включает в себя понятия «предназначение» (целевое назначение) и «способность» (служить каким-то целям).
Функция — внешнее проявление свойств объекта.
Примеры.
2. Налоговая служба имеет функцию сбора налогов.
3 Функция информационной системы — обеспечение информацией лица, принимающего решения.
4. Функция лифта — вертикальное перемещение грузов и людей в многоэтажном доме.

Функция в математике. Функция — это одно из основных понятий математики, выражающее зависимость одних переменных величин от других. Формально функцию можно определить так: Элемент множества Е_y произвольной природы называется функцией элемента х, определенной на множестве Е_x произвольной природы, если каждому элементу х из множества Е_x соответствует единственный элемент у € Е_y. Элемент х называется независимой переменной, или аргументом. Функция может задаваться: аналитическим выражением, словесным определением, таблицей, графиком и т. д.
Философское определение отвечает на вопрос: «Что может делать система?». Этот вопрос правомерен как для статических, так и для динамических систем. Однако для динамических систем важен ответ на вопрос: «Как она это делает?». В этом случае, говоря о функции системы, будем иметь в виду следующее:
Функция системы — это способ (правило, алгоритм) преобразования входной информации в выходную.
Функцию динамической системы можно представить логико-математической моделью, связывающей входные (X) и выходные (Y) координаты системы, — моделью «вход-выход»:
Y = F(Х),
где F - оператор (в частном случае некоторая формула), называемый алгоритмом функционирования.

Это совокупность математических и логических действий, которые нужно произвести, чтобы по данным входам Х найти соответствующие выходы Y.
Удобно было бы представить оператор F в виде некоторых математических соотношений, однако это не всегда возможно.

Функция как кибернетическое понятие.

В кибернетике широко используется понятие «черный ящик». «Черный ящик» является кибернетической моделью или моделью «вход-выход», в которой не рассматривается внутренняя структура объекта (либо о ней абсолютно ничего не известно, либо делается такое допущение).

В этом случае о свойствах объекта судят только на основании анализа его входов и выходов. (Иногда употребляют термин «серый ящик», когда о внутренней структуре объекта все же что-либо известно.)

Задачей системного анализа как раз и является «осветление» «ящика» — превращение черного в серый, а серого — в белый.
Условно можно считать, что функция F состоит из структуры S_t и параметров :
F={St,A},
что в какой-то мере отражает соответственно структуру системы (состав и взаимосвязь элементов) и ее внутренние параметры (свойства элементов и связей).

5. Функционирование системы
Функционирование рассматривается как процесс реализации системой своих функций.

С кибернетической точки зрения:
Функционирование системы — это процесс переработки входной информации в выходную.
Математически функционирование можно записать так:
Y{t) = F(X(t)).
Функционирование описывает, как меняется состояние системы при изменении состояния ее входов.
6. Состояние функции системы
Функция системы является ее свойством, поэтому можно говорить о состоянии системы в заданный момент времени, указывая ее функцию, которая справедлива в этот момент времени. Таким образом, состояние системы можно рассматривать в двух разрезах: состояние ее параметров и состояние ее функции, которая, в свою очередь, зависит от состояния структуры и параметров:

Знание состояния функции системы позволяет прогнозировать значения ее выходных переменных. Это успешно удается для стационарных систем.
Систему считают стационарной, если ее функция практически не изменяется в течение определенного периода ее существования.
Для такой системы реакция на одно и то же воздействие не зависит от момента приложения этого воздействия.
Ситуация значительно осложняется, если функция системы меняется во времени, что характерно для нестационарных систем.
Систему считают нестационарной, если ее функция изменяется со временем.
Нестационарность системы проявляется различными ее реакциями на одни и те же возмущения, приложенные в разные периоды времени. Причины нестационарности системы лежат внутри нее и заключаются в изменении функции системы: структуры (St) и/или параметров (А).
Иногда стационарность системы рассматривают в узком смысле, когда обращают внимание на изменение только внутренних параметров (коэффициентов функции системы).
Стационарной называют систему, все внутренние параметры которой не изменяются во времени.
Нестационарная система — это система с переменными внутренними параметрами.
Пример. Рассмотрим зависимость прибыли (П) от продажи некоторого товара как функции (Ц).от цены на него.
Пусть в течение определенного периода времени эта зависимость выражается математической моделью: П=-50+30Ц-3Ц²
Если через некоторое время изменится ситуация на рынке, то изменится и зависимость - она станет например такой: П=-62 + 24Ц -4Ц²
7. Режимы динамической системы
Следует различать три характерных режима, в которых может находиться динамическая система: равновесный, переходной и периодический.
Равновесный режим (равновесное состояние, состояние равновесия) — это такое состояние системы, в котором она может находиться сколь угодно долго в отсутствие внешних возмущающих воздействий или при постоянных воздействиях. Однако надо понимать, что для экономических и организационных систем понятие «равновесие» применимо достаточно условно.
Пример. Простейший пример равновесия — шарик, лежащий на плоскости.
Под переходным режимом (процессом) будем понимать процесс движения динамической системы из некоторого начального состояния к какому-либо ее установившемуся режиму - равновесному или периодическому.
Периодическим режимом называется такой режим, когда система через равные промежутки времени приходит в одни и те же состояния.