Задачи по разделу 3

Пример 1. Представить ряд Фурье и определить спектр периодического сигнала, представленного на рисунке 3.12, имеющего амплитуду h, период Т ₀ и длительность импульсов τ.

Рисунок 3.12 – Периодический сигнал

1) Подставляем исходные данные в выражение комплексной амплитуды частоты спектра (3.15):

;

Используя табличный интеграл , получим:

Таким образом, частотный спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов в виде ряда Фурье запишется как:

. (3.27)

Из (3.27) следует, что огибающая амплитудного спектра соответствует амплитуде спектра одиночного импульса (3.16). Эта огибающая изображена штриховой линией на рисунке 3.13.

2) Для определения спектральных составляющих a_k и b_k воспользуемся выражением (3.4). Из графика видно, что среднее значение функции или постоянная составляющая сигнала а₀ = 0 В. Запишем выражение для функции S(t) на длине одного периода Т:

Определим косинусоидальные составляющие ряда Фурье:

Поскольку T =2 π/ω, то sinkωT = sink2π =0, поэтому это выражение можно записать как:

Отсюда

Теперь определим синусоидальные составляющие сигнала:

где , следовательно, . Таким образом, спектр данного сигнала имеет только косинусоидальные составляющие, синусоидальные составляющие равны нулю, отсутствует и постоянная составляющая. Присутствуют только косинусоидальные составляющие только нечетных гармоник.

В итоге выражение для функции S(t) согласно (3.8) принимает следующий вид:

Спектр этого сигнала представлен на рисунке 3.13.

Рисунок 3.13 – Частотный спектр периодической импульсной последовательности

Пример 2. Найти спектр амплитуд периодической последовательности импульсов с амплитудой U=10B, периодом T₀=10мс и длительностью τ=5мс.