II. Линейные пространства

2.1. n – мерные векторные пространства

Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется – мерным вектором, где -я компонента. Два –мерных вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: .

Операции над –мерными векторами

Пусть и , тогда

1) – сложение векторов;

2) – умножение вектора на число.

Операции 1–2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность;

3) – дистрибутивность;

4) существует нуль–вектор такой, что ;

5) для любого найдется противоположный , такой, что .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1–5, называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ), то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется – мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые векторов уже линейно зависимы.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т.е. . Совокупность линейно независимых векторов –мерного пространства называется базисом.

Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , неравные одновременно нулю, что

.

(18)

В противном случае векторы являются линейно независимыми, т.е. равенство (18) выполняется только при .

Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в , тогда называется разложением вектора по базису , а числа – координаты вектора относительно этого базиса.

Пусть заданы два базиса: – «старый» и – «новый». Разложим вектор по этим базисам:

,

.

Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:

и подставим в :

Из равенства векторов получим:

.

Отсюда замечаем, что матрица, по столбцам которой стоят координаты базисных векторов , является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.

Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:

, где . Обратно, замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы: .