Интерференция электронов от двух щелей

Объяснение интерференции света на основе волновых представлений было дано в начале ХIХ века Юнгом. Его знаменитый опыт заключался в следующем: монохроматический свет из точечного источника 1 (рис.1.7.) падает на экран с двумя малыми щелями А и В, попадая затем на экран-детектор 3, регистрирующий интенсивность падающего на него света.. Эта интенсивность на рис.1.7 представлена интерференционной кривой J(x), которая очень просто объясняется с волновой точки зрения о свете.

Если затем постепенно уменьшать интенсивность света от источника 1, освещенность экрана, естественно, уменьшается, однако, интерференционная картина сохраняется. Увеличивая время экспозиции, можно получить интерференционную кривую J(x) в принципе при сколь угодно малой интенсивности света. Но тогда с корпускулярной точки зрения о свете легко прийти к выводу: распределение попаданий отдельных фотонов дает на экране-детекторе ту же интерференционную картину J(x), как и световые

Рис.1.7.

Нетрудно представить мысленный эксперимент, в котором интерференционная картина останется той же, но в точке 1 будет помещен источник монохроматических электронов, при этом опять можно уменьшать интенсивность электронного пучка настолько, что можно считать электроны, проходящими через прибор (интерферометр) поодиночке.

Рис.1.8.

Поскольку интенсивность J(x) представляет распределение вероятности попадания электронов в различные точки экрана, то по теореме сложения вероятностей при открытых обеих щелях А и В распределение электронов на экране должно представляться суммой распределений для каждой из щелей в отдельности (сплошная кривая J(x)).

Рис.1.9.

Рис. 1.10.

Единственный способ объяснения этих парадоксальных результатов состоит в создании адекватного математического формализма, совместимого с идеей дискретности значений физических величин и всегда правильно предсказывающего наблюдаемые интерференционные явления. Но математический аппарат связан с интерпретацией волновой функции , описывающей состояние квантовой системы. Действительно, если учесть, что вероятность обнаружить частицу в точке с координатами x,y,z в момент времени t пропорциональна квадрату модуля волновой функции , то отсюда следует, что волновую функцию целесообразно считать амплитудой вероятности. Тогда квадрат амплитуды вероятности равен плотности вероятности обнаружения частицы в момент t с координатами x,y,z:

.

Если событие может произойти несколькими взаимоисключающими способами (как, скажем, при прохождении электрона через одну из щелей А или В в рассматриваемых экспериментах), то амплитуда вероятности этого события представляет собою сумму амплитуд вероятностей каждого из способов:

(3.10)

Это утверждение совпадает с правилом сложения амплитуд в оптике. В рассмотренном выше примере функция представляет волну, проходящую через щель А, а – через щель В. На экране обе волны перекрываются и дают классическую интерференционную картину от двух щелей:

(3.11)

причем , т.е. последние два слагаемых в (3.11) и обеспечивают интерференционную картину.

Таким образом, главное, что следует из квантовой механики, можно сформулировать так:

1) основными закономерностями в природе являются закономерности не динамического, а статистического типа;

2) с вероятностями в природе следует обращаться не всегда так, как это принято в классических статистических теориях. Оказывается, что в определенных случаях необходимо складывать не сами вероятности событий, а амплитуды этих вероятностей, что и приводит к специфическим интерференционным эффектам.

Интересно в этом отношении высказывание М. Борна: «Статистические методы в физике по мере развития науки распространялись все больше и больше, и сегодня можно сказать, что современная физика полностью опирается на статистическую основу… Сегодня квантовая теория привела нас к более глубокому пониманию: она установила более тесную связь между статистикой и основами физики. Это является событием в истории человеческого мышления, значение которого выходит за пределы самой науки».

Более того, как отмечает Мякишев: «Главное отличие квантовой механики от классической заключается …в том, что в квантовой механике первичной величиной служит не вероятность, а ее амплитуда – волновая функция».

Глава II. Математический аппарат и аксиоматика квантовой механики.

§ 4. Математический аппарат квантовой механики.

При построении новой теории можно выделить три этапа: первый этап, на котором формируются и осмысливаются основополагающие идеи и закладывается физический фундамент теории; на втором этапе подбирается адекватный физическим идеям математический аппарат, позволяющий достаточно просто и логически стройно изложит соответствующую физическую теорию, т.е. производится "сшивание" физических идей и математического аппарата; на третьем этапе математический аппарат, нагруженный физическим содержанием, загружается в работу, получаемые при этом результаты сравниваются с экспериментальными данными, новые результаты проверяются на опыте. Вследствие этого продолжается осмысление физического содержания теории и развитие математического аппарата, что способствует расширению возможностей применения теории и более глубокому пониманию её идей.

Так, например, когда И.Ньютон создавал классическую механику, ему пришлось разрабатывать математический аппарат, который в дальнейшем послужил основанием для развития дифференциального и интегрального исчисления. В период же создания квантовой механики подходящий математический аппарат уже существовал как теория линейных операторов в линейном векторном пространстве

4.1. Векторы в линейном векторном пространстве.

А) Линейное векторное (комплексное) пространство.

Различные математические объекты, для которых определены операции сложения и умножения на число (комплексное в общем случае), называются векторами. Множество векторов образует линейное векторное (комплексное) пространство, если любая линейная комбинация векторов из этого множества есть вектор того же множества.

В квантовой механике вектор как элемент линейного векторного пространства обозначается символами ψ, φ, χ и т.д. Используются и другие обозначения, отражающие (или оставляющие без внимания) дискретный или непрерывный характер множества векторов: ψ_n и ψ, φ_n и φ, где n = 1,2,3,...

Указанные действия с векторами справедливы, например, для обычных (геометрических) векторов, матриц, комплексных функций действительного переменного, т.е. волновых функций. Из вышеуказанных объектов можно построить линейные пространства, в которых линейные комбинации векторов в виде суммы

Ψ=Σc_nφ_n (4.2)