Статистическая интерпретация волновой функции

Согласно идеям де Бройля состояние движения свободной частицы описывается плоской монохроматической волной (2.9) с постоянным квадратом модуля амплитуды волны (2.11).

Для описания поведения микрочастицы, локализованной в некоторой области пространства (ради простоты в пункте "Б)" рассматривается одномерный случай движения) в качестве волны де Бройля выбран волновой пакет (2.12), амплитуда которого

(3.1)

заметно отлична от нуля в области .

Волны де Бройля типа (2.9), (2.12), характеризующие волновые свойства микрочастиц (систем), называют волновыми функциями.

Каков же физический смысл волновой функции?

Первая интерпретация волновой функции была предложена Шредингером (1926 г.). Согласно его гипотезе, микрообъект или частица представляет собою сгусток из волн - волновой пакет, причем плотность распределения такого сгустка в пространстве описывается квадратом модуля амплитуды волнового пакета (2.20), т.е. формулой (2.17).

Итак, согласно Шредингеру волновая функция непосредственно связана со структурой микрочастицы.

Однако такая интерпретация оказалась несостоятельной. Дело в том, что хотя теоретически всегда можно из монохроматических волн образовать волновой пакет протяженностью () в пространстве порядка радиуса микрочастицы (например, у электрона, классический радиус которого 10^-15 м.), однако фазовые скорости у волн в пакете различны, что приводит с неизбежностью к расплыванию волнового пакета с течением времени. С учетом квадратичного члена в разложении (2.14) можно оценить в нерелятивистском приближении время расплывания волнового пакета:

. (3.2)

В случае макроскопической частицы с массой =0,1 г. и =0,1 см. время расплывания оказывается чрезвычайно большим: ~ 10²⁵ с., т.е. такой волновой пакет фактически не будет расплываться.

В случае же микрочастицы, например электрона (»10^-27 г. и ~10^‑15 см.) волновой пакет расплывается практически мгновенно ~ 10^-26 с.

Таким образом, учитывая устойчивость микроструктуры объекта, интерпретация волновой функции, предложенная Шредингером, оказалась несостоятельной.

В настоящее время принята статистическая интерпретация волновой функции, предложенная М. Борном в 1926 году[4], согласно которой интенсивность волн де Бройля, т.е. интенсивность волновых функций определяет вероятность местонахождения частицы в пространстве в некоторый (любой) момент времени. Имея в виду, что может быть комплексной функцией, а вероятность должна быть вещественной и положительной величиной, за меру интенсивности Борн предложил брать не , а квадрат модуля волновой функции, т.е. величину где - комплексно-сопряженная волновая функция.

Следует заметить, что вероятность обнаружить микрочастицу в окрестности точки с координатами зависит от размеров выбираемой области . Рассматривая малую область возле точки (), где координаты берутся соответственно из интервалов , можно считать в момент времени в этой области пропорциональной этому объему, т.е.

. (3.3)

Это равенство по известной волновой функции позволяет найти вероятность местонахождения частицы. Тогда величину

(3.4)

называют плотностью вероятности, и она оказалась равной квадрату модуля волновой функции. Учитывая два последних выражения и теорему сложения вероятностей, легко записать вероятность того, что микрочастица в момент находится в объеме , где она движется:

. (3.5)

Считая вероятность достоверного события равной единице, запишем:

, (3.6)

это условие нормировки. Функция , удовлетворяющая этому условию, называется нормированной волновой функцией.

Итак, статистическая интерпретация волновой функции не связана со структурой самой микрочастицы (в частности, электрон может считаться вообще точечным), поэтому изменение с течением времени (расплывание волнового пакета) означает лишь изменение со временем вероятности нахождения микрообъекта в различных точках пространства.

Так, например, свободно движущуюся частицу с учетом (2.11) с равной вероятностью обнаружить в любой точке пространства в любой момент времени . Этот же вывод следует из соотношений неопределенностей (2.10). Легко проверить, что волновая функция (2.9) не удовлетворяет нормировке на единицу (3.6). В этом случае волновая функция нормируется на - функцию:

, (3.7)

откуда нормировочный коэффициент оказывается равным

. (3.8)

Тогда для трехмерного случая плоская монохроматическая волна запишется в виде:

. (3.9)

При статической трактовке волновых функций они ничего общего не имеют с волнами, рассматриваемыми в классической физике. Действительно, в классической физике волны - это физическое поле, поэтому изменение амплитуды волны означает и изменение физического состояния, так как в электромагнитной волне, например, вектора напряженностей электрического и магнитного полей характеризуют энергию волны.

Волновая функция - не физическое поле, а поле информации о свойствах микрочастицы или квантовой системы. В самом деле, помимо вероятности обнаружения микрообъекта в различных местах пространства волновая функция позволяет рассчитать средние значения различных величин и вероятности дозволенных значений физических величин в этом состоянии.

Итак, состояние микрочастицы (любой квантовой системы) полностью описывается волновой функцией , имеющей статический смысл, результат чего и проявляется в статическом характере закономерностей квантовой механики.

Таким образом, в основе новой более общей и строгой теории - квантовой механики - лежат три идеи:

1) идея о дискретности значений физической величины;

2) идея о корпускулярно-волновой природе материальных объектов;

3) идея о статистическом характере квантовых закономерностей;

или:

1) о дискретном значении физических величин;

2) о двойственной корпускулярно-волновой природе материальных объектов;

3) о статистическом характере квантовых закономерностей

лежат в основе новой теории - квантовой механики. Эта более общая и строгая теория - нерелятивистская квантовая механика - содержит классическую механику как предельный () случай.

Date: 2015-05-18; view: 1560; Нарушение авторских прав