Для дискретного множества или в виде интеграла

Ψ=Σdαc(α)φ_α (4.3)

При непрерывном характере множества представляют вектора того же множества, где c_n – в общем случае комплексные числа, c(α) – комплексная функция непрерывного аргумента α, причём в ряд (4.2) входит произвольное число слагаемых (как и область интегрирования в (4.3) может быть выбрана произвольно).

Рассмотрим несколько векторов φ_1, φ₂ ЛВ – пространства. Если ни один из них нельзя выразить линейной комбинацией всех других, то такие векторы называются линейно независимыми. В этом случае из равенства, выражающего линейную независимость векторов

c₁φ₁+c₂φ₂ = 0 (4.4)

следует, что c₁ = c₂ = … = 0.

Если ЛВ–пространство содержит конечное число n линейно независимых векторов, то оно называется конечномерным, число его измерений равно n (n -мерное ЛВ–пространство). Всякий вектор в этом пространстве представляется линейной комбинацией n линейно независимых векторов, образующих базис, причём базисные векторы можно выбрать бесконечным числом способов. Существуют ЛВ–пространства, в которых число базисных векторов не ограничено. Другие векторы в таких пространствах определяются линейной комбинацией полной системы базисных векторов в виде бесконечных рядов (или интегралов):

Ψ=∑с_ίφ_ί , (4.5)

где совокупность чисел с_ί (с₁, с₂…) – координаты вектора ψ в системе координат с базисом φ_1, φ₂, …

В) Унитарное и гильбертово пространство.

Линейное комплексное пространство называется унитарным, если в нём определена операция скалярного произведения, ставящая в соответствие каждой паре векторов y и j в общем случае комплексное число.

Постулируются следующие свойства скалярных произведений:

1. (y,j)*=(j,y) – эрмитова симметрия, (4.6)

2. (y,j₁+j₂) = (y,j₁) + ( y,j₂) – закон дистрибутивности, (4.7)

3. (y,αj) = α(y,j) – закон ассоциативности, (4.8)

4. (y,j) ≥ 0 –положительная определённость нормы вектора. (4.9)

Из свойств (4.6) – (4.8) следуют соотношения (4.10):

(y,Σc_ίj_ί )=Σc_ί(y,j_ί ) –линейность скалярного произведения по второму сомножителю;

(Σc_ίy_ί,j)=Σc_ί*(y_ί,j) – антилинейность по первому сомножителю. (4.10)

Скалярный квадрат вектора называется нормой или квадратом модуля вектора:

(y,y)= ççyçç² (4.11)

Date: 2015-05-18; view: 460; Нарушение авторских прав