Задача № 26

Частица массой находится в кубической потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите длину ребра куба, если разность энергий 6-ого и 5-ого уровней равна . Чему равна кратность вырождения 6-ого и 5-ого уровней?

Решение:

Потенциальная яма имеет вид (рисунок 1):

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Используем естественные условия, накладываемые на пси-функцию. Вне области частица находиться не может, значит, плотность вероятности, а значит, и пси-функция вне области равны нулю. Учитывая этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

В этом случае пси-функция примет вид:

(4)

Найдём частные производные от выражения (4) по x, y и z:

и подставим их в уравнение Шредингера (2), получим:

(5)

Учитывая, что , получим:

(6)

Отсюда получим энергетический спектр частицы:

(7)

Энергия частицы зависит от трёх квантовых чисел . Составим таблицу (таблица 1), в которой рассмотрим несколько первых энергетических уровней (сумма квадратов трёх квантовых чисел определяет энергию частицы):

Таблица 1:

№ уровня

Как видно из таблицы, может существовать несколько состояний частицы, описываемых различными пси-функциями, но в которых частица имеет одно и то же значение энергии. Такие энергетические уровни называются вырожденными, а число квантовых состояний, в которых частица имеет одно и тоже значение энергии называется кратностью вырождения. Значит, 5-ый энергетический уровень не вырожден, потому что существует только одно состояние, в котором частица имеет такое значение энергии, а 6-ой уровень имеет кратность вырождения 6. Определим разность энергий 6-ого и 5-ого уровней:

(8)

Отсюда найдём ребро куба:

(9)

Ответ:

5-ый уровень не вырожден, кратность вырождения 6-ого уровня равна 6.