Задача № 30

Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Найдите отношение вероятностей нахождения частицы в средней трети ямы для первого и второго возбуждённых состояний.

Решение:

Пусть сторона ямы равна .

Частица находится в потенциальной яме, имеющей вид (рисунок 1):

Рисунок 1

Составим уравнение Шредингера для области :

(1)

или в виде:

(2)

где . Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(3)

Воспользуемся естественными условиями, накладываемыми на пси-функцию. В области, где потенциальная энергия равна бесконечности, частица находиться не может, поэтому плотность вероятности нахождения частицы, а значит и пси-функция в этих областях () равны нулю. Имея в виду этот факт и условие непрерывности пси-функций, получим:

Тогда пси-функция примет вид:

(4)

Учитывая, что , получим:

(5)

Мы получили энергетический спектр частицы, находящейся в потенциальной яме заданного вида. Определим коэффициент A в выражении (4), используя условие нормировки:

(6)

Пси-функции собственных состояний частицы в потенциальной яме:

(7)

В первом возбуждённом состоянии (так как соответствует основному состоянию). Тогда пси-функция первого возбуждённого состояния равна:

(8)

Плотность вероятности нахождения частицы в этом состоянии определяет квадрат модуля пси-функции:

(9)

Аналогично для второго возбуждённого состояния пси-функция и плотность вероятности равны:

(10)

(11)

Вероятности нахождения частицы в средней трети потенциальной ямы для первого и второго возбуждённых состояний найдём, интегрируя (9) и (11) по пределам :

Тогда

Ответ:

.