Истечение из суживающегося канала. Критическое давление и скорость. Максимальный расход

Рис.1.

Рис.2.

Полагаем в уравнении (1) d q = 0, d z = 0. Получим соотношение (3). Внутри сосуда W ₁ << W ₂. Поэтому для идеального газа при адиабатном процессе h = C_pT = k RT /(k – 1) = k pv /(k – 1), pv ^k = const, k = C_p / C_v, C_p = C_v + R, имеем

Массовый расход газа через сечение S ₂ равен m = r₂ W ₂ S ₂. При этом принято, что течение можно считать одномерным. Комбинируя полученные соотношения, находим окончательно

График полученной зависимости представлен на рис. 2.

Функция m имеет максимум m = m_max при

координата которого получена из условия равенства нулю производной этой функции по переменной b = p ₂/ p ₁ (параметры внутри емкости поддерживаются постоянными). В частности для воздуха b_кр = 0.528. Отношение давлений в точке максимума называется критическим. Также критическими называют величины p ₂, W ₂ в точке экстремума (при m = m_max). Для критической скорости W ₂ = W _кр в случае идеального газа pv = RT имеем формулу Лапласа

W ₂ = W _кр = (k p _кр v _кр)^1/2 = (k RT _кр)^1/2 = a.

Величина a – скорость звука, как известно из курса газодинамики. Распространение звука в идеальном газе протекает как адиабатический процесс. Слабые возмущения в газовом потоке не могут распространяться со скоростью превышающей a, поэтому при достижении в выходном сечении канала скорости звука, всякие изменения параметров газа за пределами канала будут сноситься потоком и не могут влиять на ситуацию в сосуде.

a ¾¾·¾¾® W ₂

W ₂ = a Рис. 3.

Поэтому ветвь функции m при p ₂/ p ₁ < (p ₂/ p ₁)_кр на практике реализоваться не может. Происходит «запирание» канала и выполняется равенство m = m_max. Примеры значений скорости звука: a _{угл.газа} = 269 м/с, a _возд. = 340 м/с при нормальных условиях.

16. Влияние профиля канала на адиабатное течение в нем газа: сопло, диффузор, сопло Лаваля.

Влияние профиля канала на адиабатное течение в нем газа.

Пока в сужающемся канале давление на выходе падает от p ₁ до p _кр скорость потока растет от нуля до скорости звука W ₂ = a, что приводит к увеличению расхода вещества от нуля до m_max.

Чтобы получить скорость потока больше скорости звука после суживающейся части должна, как далее покажем, последовать расширяющееся. Такой канал называют соплом Лаваля. Течение в канале считаем одномерным. Основные уравнения приводились ранее.

h + W ²/2 = const, pv = RT, pv ^k = A = const, FW / v = const, k = C_p / C_v, R = C_p – C_v;

0 = W d W + C_p d T = W d W + C_p d(Av ^1–k)/ R = W d W + = W d W – k RT d v / v =

= W d W – a ²d v / v; Þ (1)

Эта формула определяет как меняется скорость потока в зависимости от изменения площади сечения канала.

Рис. 4. отсутствует, вместо него прилагаю сопло Лаваля и распределение скорости потока по длине сопла

1). Суживающийся канал (конфузор), т. е. d F /d x < 0, и начальная скорость газа W < a (дозвуковой поток). Из (1) следует, что d W /d x > 0, т. е. скорость будет возрастать вплоть до критической скорости W _кр = a, но может ее и не достигнуть (см. рис. 4).

2). Расширяющийся канал (диффузор), d F /d x > 0. Дозвуковой поток будет замедляться, а сверхзвуковой W > a разгоняться до еще больших скоростей, т. к. d W /d x > 0. Если при F = F_min, W ¹ a, то значение скорости W будет экстремальным, как видно из формулы (1).

3). Если суживающееся сопло в том месте, в котором газ разгоняется до критической скорости W = a переходит в расширяющийся канал, то течение газа, прошедшего горловину со скоростью W = a, в диффузоре может стать сверхзвуковым и все более и более ускоряющимся. Из формулы (1) вытекает, что значение F, при котором W = a будет минимальным F = F_min = F _кр. Это сечение называется критическим. Будет ли осуществлен переход от дозвукового течения к сверхзвуковому зависит от создания противодавления на выходе из сопла. Из рис. 4 видно, что дозвуковых режимов течения много, а сверхзвуковое только одно. При истечении в вакуум (T ₂ = 0, h ₂ = 0, W ₁ = 0) можно достичь (приблизиться) к следующему значению сверхзвуковой скорости:

Þ W_max = (2 h ₁)^1/2.

Для воздуха W_max = 757 м/с при t = 15^° C.

Соответствующие формулы лежат в основе расчета предохранительных клапанов и мембран. Часто через неплотности аппаратуры, свищи, отверстия и т. п. происходит истечение со сверхзвуковой скоростью. Сверхзвуковое течение обычно сопровождается звуком (шипением, свистом и т. п.).

17. Второе начало термодинамики. Условие эволюции для изолированной системы.