Уравнение Навье-Стокса

Рассмотрим уравнения движения в напряжениях () применительно к линейно-вязким средам. Жидкость полагаем несжимаемой с постоянным коэффициентом вязкости . Введем декартову систему координат . Уравнения движения запишем в проекциях на оси :

(4.14)

Преобразуем первое из уравнений (4.14)

(4.15)

Для несжимаемой жидкости и, следовательно, первое из уравнений (4.14) можно записать в виде

Аналогично, из 2-го и 3-го уравнений (4.14) получим уравнения движения в проекции на оси и :

,

Уравнения движения в проекции на оси соответствует векторному уравнению движения в форме Навье-Стокса:

(4.16)

где - лапласиан соответствует вектору с проекциями

Для сжимаемой среды тензор напряжений (при ) имеет вид (4.13)

или в компонентной форме

(4.17)

Преобразуем первое из уравнений (4.14), с учетом (4.17)

(4.18)

Тогда из (4.14)

;

Аналогично из 2-го и 3-го уравнений (4.14):

(4.19)

В векторной форме уравнение Навье-Стокса для вязкой сжимаемой среды приобретает вид

(4.20)