Законы идеальных газов

Газы часто используются в тепловых двигателях в качестве рабочего тела. Это обусловлено их свойством изменять объем в широком диапазоне и, следовательно, получать работу расширения. Знать свойства газов очень важно, т.к. необходимо анализировать процессы, происходящие с рабочим телом в установках и выбирать наиболее экономичные схемы (циклы) этих установок.

Изучение свойств газов ведется двумя путями: экспериментальным и теоретическим. На начальной стадии изучения свойств газов преобладали экспериментальные исследования. В настоящее время теоритические и экспериментальные исследования проводятся совместно. Подтверждение всех теорий возможно только в результате опыта.

Теоретическое изучение свойств газов ведется сначала на упрощенной их модели – идеальном газе.

Под идеальным газом понимается газ, в котором отсутствуют силы гравитационного взаимодействия между молекулами, образующими газ, а механическое взаимодействие молекул ограничено лишь упругим соударением, сами молекулы при этом представляют идеально упругие материальные точки, не имеющие объема.

В соответствии с определением идеального газа поведение молекул в нем подчиняется законам механики. Созданная на основании этих законов теория идеальных газов получила название молекулярно-кинетической теории идеальных газов.

Согласно этой теории абсолютное давление идеального газа определяется исходя из закона импульсов [7] и рассчитывается как

, (3.1)

где Р – абсолютное давление, Н/м²;

n – число молекул в 1 м³ газа;

m – масса одной молекулы, кг;

w – средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул, м/с.

Исходя из определения абсолютного давления идеального газа оно соответствует силовому воздействию молекул друг на друга или на окружающую их поверхность, взятому на единицу площади и направленному по нормали к этой поверхности. Величина 1/3 в выражении (3.1) указывает на то, что силовое воздействие молекул идеального газа равномерно распределено по всем степеням свободы поступательного движения молекул (у поступательного движения 3 степени свободы). Это объясняется тем, что число молекул даже в малом объеме очень велико, а их движение хаотично.

Ранее было показано, что кинетическая энергия поступательного движения молекул прямо пропорциональна абсолютной температуре газа:

mw²/2 = aT или mw² = 2aT.

Воспользовавшись этим соотношением, запишем выражение (3.1) в виде

P = (2/3)naT, (3.2)

умножим правую и левую части уравнения (3.2) на объем газа V:

PV = (2/3)nVaT = (2/3)NaT, (3.3)

где N = nV – число молекул газа, находящегося в объеме V.

Исходя из выражения (3.3) можно сделать следующие заключения:

1. При одинаковых физических условиях (Р и Т одинаковы) в одинаковых объемах (V=idem) находится одинаковое количество молекул идеальных газов N=idem, независимо от того, какой газ или смесь газов заполняют данный объем.

2. Поскольку масса однородного газа равна произведению массы одной молекулы на число молекул, то в соответствии с заключением 1 плотность идеальных газов r при одинаковых Р и Т пропорциональна их молекулярной массе m:

r º m, m/r = idem или mv = idem. (3.4)

Последнее соотношение выражения (3.4) относится к объему одного моля (киломоля) газа mv (м³/кмоль), где m (кг/кмоль) – молярная масса газа. Использование киломоля, а не моля объясняется тем, что все расчетные выражения принято давать в СИ (масса в кг, объем в м³ и т.п.).

В результате второе заключение можно сформулировать так: объем одного киломоля (моля) идеальных газов, имеющих одинаковые Р и Т, одинаков. Обозначив объем одного киломоля газа величиной V_m=mv, получим

V_m = mv = idem.

3. Записав выражение (3.3) для одного киломоля газа, получим соотношение

PV_m = (2/3)N_maT, (3.5)

где N_m – число молекул в одном киломоле газа.

Применив два предыдущих заключения к выражению (3.5), получим, что при одинаковых Р и Т один киломоль идеального газа занимает одинаковый объем и содержит в этом объеме одинаковое количество молекул. Следовательно, согласно закону сохранения вещества, количество молекул в киломоле всех идеальных газов при изменении Р и Т не изменится, т.е. это величина постоянная – N_m=const.

Несложно догадаться, что все три заключения представляют собой закон Авогадро, а величина N_m=6,0236×10²⁶ (1/кмоль) есть число Авогадро.

В выражении (3.5) произведение (2/3) N_ma есть постоянная величина для всех идеальных газов. Эту константу обозначили как R_m и назвали универсальной газовой постоянной.

R_m = (2/3) N_ma. (3.6)

Определение универсальной газовой постоянной было осуществлено экспериментально на газах при малых значениях давлений. При малых давлениях расстояния между молекулами газа очень большие, силы межмолекулярного взаимодействия практически отсутствуют, а свойства реальных газов соответствуют свойствам идеальных газов. Известно, что при нормальных физических условиях один киломоль всех газов занимает объем V_mо=22,4 (м³/кмоль). Подставив эти параметры (P_о=760 мм рт.ст.=101300 Па и Т_о=273,15 К) в уравнение (3.5), получим численное значение универсальной газовой постоянной и ее единицу измерения:

R_m = P_oV_mо/T_o = 101300×22,4/273,15 = 8314 Дж/(кмоль×K.

В окончательном виде уравнение (3.5) можно записать в следующих представлениях:

для киломоля газа

PV_m = R_mT, (3.7)

где Р – абсолютное давление, Па;

V_m – объем 1 киломоль газа, м³/кмоль;

R_m=8314 Дж/(кмоль×К) – универсальная газовая постоянная;

Т – абсолютная температура, К.

Поделив правую и левую части уравнения (3.7) на молярную массу m, получим уравнение для одного килограмма газа:

Рv= (R_m/m)T, или Рv=RT, (3.8)

где R= R_m/m =8314/m Дж/(кг×К) носит название газовой постоянной, в отличие от универсальной газовой постоянной она является константой только для данного газа;

v – удельныйобъем газа, м³/кг.

Умножив правую и левую части уравнения (3.8) на массу m, получим уравнение для m килограммов газа:

Рmv=mRT или РV=mRT, (3.9)

где V – объем, м³, занимаемый m кг газа.

Все три уравнения (3.7), (3.8), (3.9) являются уравнениями состояния идеального газа, выражающими взаимосвязь термических параметров состояния: Р, v (V или V_m), T. Эти уравнения называются термическим уравнением состояния идеального газа или по фамилиям авторов, получивших эти уравнения, – уравнением Менделеева – Клапейрона.

Состояние идеального газа определяется любой парой термических параметров из трех – Р, v, T. Третий параметр может быть определен из термического уравнения состояния идеального газа.

Уравнение состояния идеального газа было получено в 1834 г. Клапейроном для одного килограмма газа (3.8), а в 1874 г. – Менделеевым для одного моля газа (3.7). Уравнение состояния идеального газа было выведено на основании экспериментальных закономерностей, полученных в ХVII – XIX вв. учеными, исследовавшими свойства газов при параметрах, близких к атмосферным:

закон Бойля – Мариотта для Т=const: Pv=const,

закон Гей – Люссака для Р=const: v/T=const,

закон Шарля для v=const: T/P=const.

Эти законы являются частными случаями уравнения состояния идеального газа и легко могут быть получены из него.