Теплоемкость газов

Упрощенно говоря, теплоемкостью С тела называют количество теплоты, которое нужно затратить в данном процессе, чтобы нагреть тело на один градус: .

Обычно теплоемкость относят к единице количества вещества и в зависимости от выбранной единицы различают:

ü удельную массовую теплоемкость с, отнесенную к 1 кг газа, Дж/(кг×К);

ü удельную объемную теплоемкость с ´, отнесенную к количеству газа, содержащегося в 1 м³ объема при нормальных физических условиях, Дж/(м³×К);

ü удельную мольную теплоемкость μ с, отнесенную к одному киломолю, Дж/(кмоль×К).

Зависимость между удельными теплоемкостями устанавливается очевидными соотношениями:

с = μ с /μ; с ´= с ρ_н. (2.13)

Здесь ρ_н – плотность газа при нормальных условиях.

Изменение температуры тела при одном и том же количестве сообщаемой теплоты зависит от характера происходящего при этом процесса, поэтому теплоемкость является функцией процесса. Это означает, что одно и то же рабочее тело в зависимости от процесса требует для своего нагревания на 1 К различного количества теплоты. Численно величина с изменяется в пределах от + ∞ до – ∞.

В термодинамических расчетах большое значение имеют:

ü теплоемкость при постоянном давлении

с _p = δ q _p/ dT, (2.14)

равная отношению количества теплоты δ q _p, подведенной к телу в процессе при постоянном давлении, к изменению температуры тела dT;

ü теплоемкость при постоянном объеме

с_v = δ q_v / dT, (2.15)

равная отношению количества теплоты δ q_v, подведенной к телу в процессе при постоянном объеме, к изменению температуры тела dT.

В соответствии с первым законом термодинамики для закрытых систем δ q = du + pdv.

С учетом того, что (соотношения (2.1))

Δ q = (∂ u /∂ T) _vdT + [(∂ u /∂ v) _T + p ] dv. (2.16)

Для изохорного процесса (v =const) это уравнение принимает вид , и, учитывая (2.15), получаем, что

c_v = (∂ u /∂ T) _v. (2.17)

Для идеального газа (уравнение 2.2), поэтому

c_v = du / dT. (2.18)

Для изобарного процесса (р =const) из уравнений (2.16) и (2.14) получаем

c _p = (∂ u /∂ T) _v + [(∂ u /∂ v) _T + p ](dv / dT) _p

Поскольку внутренняя энергия идеального газа определяется только его температурой и не зависит от удельного объема, то

. (2.19)

Из уравнения Клапейрона (1.4) pv = RT (1.3) следует , откуда

c _p = с_v + R. (2.20)

Соотношение (2.20) называется уравнением Майера и является одним из основных в технической термодинамике идеальных газов.

В процессе v =const теплота, сообщаемая газу, идет лишь на изменение его внутренней энергии, тогда как в процессе р = const теплота расходуется и на увеличение внутренней энергии и на совершение работы расширения. Поэтому c _p больше с _v на величину этой работы.

Формула определяет так называемую истинную теплоемкость, т. е. значение теплоемкости при данной температуре. На практике теплоемкость широко используется для подсчета количества теплоты q ₁₂, которое необходимо затратить, чтобы нагреть тело от одной температуры (t ₁) до другой (t ₂) (или которое выделится при охлаждении от t ₂ до t ₁).

Если в указанном диапазоне температур теплоемкость не изменяется, то

, кДж/кг и , кДж. (2.21)

Эту формулу можно применять и для приблизительных (не очень точных) расчетов. Например, удельная теплоемкость воды при комнатной температуре равна 4,187 кДж/(кг×°С), а воздуха»1 кДж/(кг×°С). Поскольку теплоемкость почти всех веществ изменяется (чаще всего возрастает) с ростом температуры, нужно, строго говоря, использовать формулу

. (2.21 а)

На рис. 2.2 величина q ₁₂ изображена заштрихованной площадкой. Казалось бы проще всего, применив теорему о среднем, записать

, (2.22)

где – среднее значение теплоемкости в диапазоне температур t ₁… t ₂.

Однако для реальных расчетов такая запись очень неудобна, поскольку величину теплоемкости выбирают из таблиц, а зависит как от t ₁, так и от t ₂. Таблица функции от двух аргументов получилось бы очень громоздкой.

На практике поступают следующим образом. Искомое количество теплоты представляют в виде разности между ее количествами, необходимыми для нагрева тела от 0 °С до температур t ₂ и t ₁ соответственно (рис. 2.2)

. (2.23)

Тогда

, (2.24)

где - средняя теплоемкость в диапазоне температур 0… t °С.

Величина средней теплоемкости для данного вещества (и данного процесса, т.е. с_р или c_v) зависит лишь от одной температуры t. Именно эти теплоемкости и приводятся во всех таблицах под названием «средние». Сказанное справедливо как для с (с_р и c_v), так и для с ¢ и m с. В качестве примера в таблице, приведенной ниже, дана зависимость теплоемкости от температуры для некоторых наиболее распространенных газов. Нужно подчеркнуть, что в формуле (2.24) температура подставляется в градусах Цельсия.

Средняя молярная теплоемкость различных газов при р =const

(по данным М.П. Вукаловича, В.А. Кириллина, В.Н. Тимофеева)

В этой таблице величины m с _р приведены через 100 °С. Поскольку они не сильно меняются с температурой, промежуточные величины можно находить путем линейной экстраполяции. Напомним, как это делается. Имеются табличные значения функции y = f (x) у ₁ (при х = х ₁) и у ₂ (при х = х ₂). Значение функции у (х) при х ₁< х < х ₂ равно . Эта формула верна как для монотонно возрастающей функции (когда у ₂> у ₁), так и для монотонно убывающей (у ₂< у ₁); в этом случае дробь будет отрицательной, так как х ₂ > х ₁ всегда.