Граничных условиях первого рода

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет определить температуру в зависимости от времени и координат. Для

конкретного случая на уравнение накладываются краевые условия.

Рассмотрим теплообмен в однослойной плоской стенке, длина и ширина которой бесконечно велики по сравнению с толщиной , рис. 13.3.

Рис. 13.3. Теплообмен в тонкой плоской стенке

Температуры поверхностей стенки и постоянны, то есть эти поверхности являются изотермическими поверхностями. Температура меняется только в направлении перпендикулярном плоскости стенки, которое принимаем за ось х. Коэффициент теплопроводности постоянен для всей стенки. При стационарном режиме, температура в любой точке тела постоянна, следовательно

Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье будет иметь вид

Для данных условий первые и вторые производные температуры по у и z также равны нулю:

и .

Поэтому дифференциальное уравнение теплопроводности запишет-

ся в виде

Интегрируя последнее уравнение два раза, получим:

;

При постоянной теплопроводности полученное уравнение есть уравнение прямой, следовательно, закон изменения температуре при прохождении теплоты через плоскую стенку будет линейный.

Постоянные интегрирования А и В находятся из условий: при ® ; при ® , откуда находим .

Плотность теплового потока

.

Общее количество теплоты, проходящее через поверхность стенки за время , будет равно

,

где - тепловая проводимость тела, .

Количество теплоты, передаваемое теплопроводностью через плоскую стенку, прямо пропорционально коэффициенту теплопроводности стенки , ее площади F, промежутку времени , разности температур на поверхностях стенки и обратно пропорционально толщине стенки .

Разность температур поверхностей стенки называется температурным напором

.