Различные уравнения прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости будет определено, если задать единичный вектор , перпендикулярный прямой и выходящий из начала координат, и расстояние то начала координат до прямой . Возьмем на прямой произвольную точку .

Когда точка движется по прямой, то ее радиус-вектор меняется так, что все время связан условием:

,

оно выполняется для всех точек прямой, то есть это равенство выражает общее свойство точек прямой и только их. По свойству скалярного произведения

, следовательно,

.

Это нормальное уравнение прямой в векторной форме.

Утверждение. Любое уравнение первой степени с двумя переменными

. (9.1)

определяет прямую на плоскости.

Определение 1. Уравнение (9.1) называется общим уравнением прямой на плоскости.

Определение 2. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали.

Векторов нормали для прямой бесконечно много, все они коллинеарны между собой, коэффициенты при переменных в общем уравнении прямой – это координаты одного из векторов нормали, то есть - один из векторов нормали.