Различные уравнения плоскости в пространстве

Рассмотрим общее уравнение плоскости в пространстве:

. (3.1)

Пусть плоскость не параллельна ни одной из осей, тогда эта плоскость отсекает на осях координат отрезки (см. рис).

Воспользуемся общим уравнением (3.1) плоскости, где

.

Найдем коэффициенты уравнения, используя координаты точек пересечения плоскости с осями координат. Так как эти точки лежат в плоскости, то их координаты удовлетворяют уравнению, следовательно, , откуда ,

, тогда и , тогда . Подставляя эти соотношения в (3.1), получим , так как , разделим это равенство на и получим

. (3.2)

Это уравнение плоскости в отрезках на координатных осях, числа показывают, какие отрезки на осях координат отсекает данная плоскость.

Пусть известны координаты вектора нормали к плоскости и координаты точки , которая принадлежит плоскости. Надо составить уравнение данной плоскости.

Возьмем произвольную точку плоскости , тогда вектор тоже будет принадлежать плоскости, вектор нормали, перпендикулярный плоскости, перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, то есть , а тогда скалярное произведение этих векторов равно нулю

(3.3)

Получили уравнение плоскости, проходящей через заданную точку с заданным вектором нормали. При всевозможных значениях равенство (3.3) определяет совокупность всех плоскостей, проходящих через точку , и называется уравнением связки плоскостей, проходящих через заданную точку.

Пример 1. Даны точки . Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Вектор будет являться вектором нормали плоскости, его координаты равны . Теперь воспользуемся уравнением (3.3):

или

Пусть заданы три точки . Надо составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки. Для этого возьмем произвольную точку этой плоскости, тогда векторы лежат в данной плоскости, то есть компланарны. Следовательно, их смешанное произведение равно нулю , или

(3.4)

Уравнение (3.4) – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.