Классическая теория дисперсии

Дисперсия - это зависимость скорости света в веществе от частоты /длины волны/.

На рис.3.2 показана кривая дисперсии. Область длин волн, в которой , называют нормальной дисперсией, а область, в которой , называют аномальной дисперсией (на рис.22 соответственно участки кривой 1-2 и 2 – З).

Запишем дифференциальное уравнение колебаний электронов около положения равновесия:

, (3.3)

где m -масса частицы, г - коэффициент сопротивления, k - жесткость системы.

В результате слабого взаимодействия электрона с окружающими атомами кристалла рассеивается колебательная энергия электрона; этим и обусловлен коэффициент r. Чем больше связь электрона с окружающими атомами, тем больше r. Перепишем (3.3) в виде:

(3.4)

В выражении (3.4) использованы традиционные обозначения:

r/m º 2b и k/mºw²₀ (3.5)

Нам известно, что решением дифференциального уравнения (3.4) будет уравнение гармонических колебаний с частотой w и амплитудой:

(3.6)

Благодаря колебательному движению электрона происходит периодическое индуцирование электрического дипольного момента:

(3.7)

Если в атоме Z электронов, тогда электрический момент атома:

(3.8)

В единице объема вещества N атомов, поэтому электрический момент вещества (поляризация) равен:

(3.9)

Воспользовавшись известными выражениями:

n² = ε; ε =1+χ; P=ε₀·χ·E(t);

получим:

(3.10)

Таким образом, классическая теория, рассматривающая свет как электромагнитную волну, объясняет зависимость показателя преломления среды n от частоты w (длины волны l).

На рис.3.3 показана графическая зависимость n²(w). Восходящие участки кривой представляют нормальную, а нисходящие - аномальную дисперсию.

Если w сильно отличается от резонансной частоты, то . При скобки в выражении (3.10) обращаются в 0 и n достигает максимального значения.

Дисперсия как нормальная, так и аномальная объясняется близостью частоты электромагнитной волны к резонансной частоте колебаний электронов в атоме. На частотах много больших резонансной поляризация атомов не успевает происходить, добавка к 1 в формуле (3.10) стремится к 0. Этим объясняется тот факт, что у воды Н₂О n=1,3, хотя диэлектрическая проницаемость ε, измеренная в статическом, или квазистатическом режиме, составляет 81. Уменьшение n с расчетного значения 9 до экспериментального 1,3 как раз объясняется неспособностью молекул поляризоваться на частотах видимого диапазона электромагнитных волн.