Решение. Из определения энтропии (4.1) следует, что количество теплоты, полученное системой при переходе из состояния 1 в состояние 2 можно найти как

Из определения энтропии (4.1) следует, что количество теплоты, полученное системой при переходе из состояния 1 в состояние 2 можно найти как . Таким образом, полученная газом теплота численно равна площади под графиком зависимости , причем при увеличении S и при уменьшении S. Следовательно, в нашем цикле газ получает теплоту от нагревателя на участке 23 () и отдает теплоту холодильнику на участке 12 (). На участке 31 происходит адиабатное расширение газа (). Учитывая, что , находим:

,

,

.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

В 1824 г. французский физик С.Карно[20] доказал, что максимальным КПД из всех возможных тепловых двигателей при заданных температурах нагревателя Т₁ и холодильника Т₂ обладает двигатель, работающий по циклу, состоящему из двух изотерм и двух адиабат (цикл Карно), как показано на рисунке 4.6.

Проанализируем цикл Карно. На участке 12 происходит изотермическое расширение газа. На этом этапе цикла газ находится в контакте с нагревателем, имеет температуру Т ₁ и получает теплоту Q ₁. Участок 23 - адиабатное расширение, во время которого газ совершает работу за счет уменьшения своей внутренней энергии. При этом температура газа уменьшается до температуры холодильника Т ₂. Участок 34 - изотермическое сжатие при температуре Т ₂. На данном этапе газ находится в контакте с холодильником и передает ему теплоту Q ₂. Участок 41 - адиабатное сжатие, в результате которого температура газа повышается до Т ₁, и газ возвращается в исходное состояние 1.

Найдем КПД цикла Карно, применив метод, использованный для решения задачи 4.3. Для этого изобразим цикл Карно на координатной плоскости (S, T) (см. рис. 4.7). Имеем:

. (4.7)

При выводе формулы (4.7) мы не делали никаких предположений о свойствах рабочего вещества и конструкции теплового двигателя. Отсюда следует теорема Карно: КПД теплового двигателя, работающего по циклу Карно, зависит только от температур нагревателя и холодильника и не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества.

Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, называют также идеальным тепловым двигателем.

Задача 4.4. Идеальный тепловой двигатель имеет КПД . Каким станет его КПД, если температуру нагревателя увеличить в 2 раза, а температуру холодильника уменьшить в 2 раза?