Неравновесное уравнение Пуассона

Запишем уравнение Пуассона для ОПЗ полупроводника р ‑типа, находящегося в неравновесных условиях, в виде:

. (6.48)

Здесь n и р – неравновесные концентрации электронов и дырок, описываемые соотношением (6.37), N _D ⁺ и N _A^– – концентрации ионизованных доноров и акцепторов. Подставляя (6.37) в (6.48) и учитывая, что в квазинейтральном объеме

,

получаем аналогично по сравнению с равновесным случаем:

. (6.49)

Проводя интегрирование уравнения (6.49), получаем первый интеграл неравновесного уравнения Пуассона в виде:

. (6.50)

Обозначим F (ψ, φ ₀, φ _c) величину, равную

. (6.51)

Знак электрического поля Е выбирается так же, как и в равновесном случае. Если ψ _s > 0, то Е положительно, если ψ _s < 0, поле Е отрицательно.

Согласно теореме Гаусса величину электрического поля на поверхности E _s однозначно определяет заряд Q _sc в ОПЗ:

, (6.52)

где L _D – дебаевская длина экранирования, определяемая соотношением:

.

Для области инверсии, в которой работает МДП‑транзистор, выражение для заряда Q _sc значительно упрощается. Действительно, поскольку величина ψ _s положительна и велика, из (6.51) и (6.52) следует, что заряд Q _sc равен:

. (6.53)

Заряд электронов Q _n в канале определяется разностью между полным зарядом Q _sc и зарядом ионизированных акцепторов Q _В:

. (6.54)

Для области слабой инверсии пока ионизованных акцепторов

. (6.55)

Для области сильной инверсии, когда , заряд ионизованных акцепторов не зависит от поверхностного потенциала ψ _s. Его величина равна:

. (6.56)

Здесь и далее мы приняли для простоты, что концентрация основных носителей дырок p _p0 в квазинейтральном объеме равна концентрации легирующей акцепторной примеси N _A. Выражения для заряда свободных носителей Q _n в канале получаем из (6.53 – 6.56).

Для области слабой инверсии

. (6.57)

Для области сильной инверсии

. (6.58)

В начале области сильной инверсии, когда , для выражения заряда электронов Q _n в канале необходимо пользоваться соотношением (6.54), подставляя в него значения Q _sc из (6.53), а значения Q _В – из уравнения (6.56).

Таким образом, решение неравновесного уравнения Пуассона даст выражения (6.57, 6.58), описывающие зависимость заряда электронов Q _n в инверсионном канале МДП‑транзистора от поверхностного потенциала и квазиуровня Ферми.