![]() Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
![]() Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
![]() |
Приведение нецентральной линии к каноническому видуСейчас мы освоим универсальный метод решения, который приближен к соответствующему теоретическому материалу стандартного курса аналитической геометрии. Таким образом, разобранные ниже задачи помогут сориентироваться не только в практике, но и лучше понять теорию. Классический алгоритм приведения уравнения На первом шаге выясняется угол поворота исходной линии относительно своего канонического положения и осуществляется поворот исходной системы координат На втором шаге выделяются полные квадраты (при необходимости), и проводится параллельный перенос системы координат Должен отметить неудачные обозначения со штрихами, но так принято практически во всех учебниках, и сейчас я буду придерживаться стандарта (ну, или почти придерживаться), поскольку немалой части аудитории нужно сдавать теорию. Штрихи, как вы поняли, к производным функциям никакого отношения не имеют. В предыдущем параграфе я намеренно использовал обозначения Таким образом, универсальный способ приведения к линии 2-го порядка к каноническому виду предполагает два последовательных преобразования прямоугольной системы координат – поворот и параллельный перенос: Как, наверное, все уже догадались и горестно вздохнули, удобный метод инвариантов позволял получить то же самое одним махом: Но в параболическом случае мы вынуждены выехать с тихой просёлочной дороги метода инвариантов на оживлённую автостраду общего способа решения: Пример 3 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Выполнить чертёж. Решение: в первую очередь выясним тип линии. Вычислим определитель, составленный из коэффициентов
1) Осуществим поворот исходной системы координат Искомый угол поворота найдём по формуле: Внимание! Данная формула справедлива только для параболического случая ( В нашем примере: Вообще говоря, очевиден корень Продолжаем: Если осуществляется поворот прямоугольной системы координат
Из тригонометрических формул И сложившейся ситуации вполне прагматичным решением будет привлечь на помощь метод научного тыка. Не теряя времени, начинаем работать непосредственно с углом «альфа» и используем формулы Итак, для угла Подставим найденные (к слову, табличные) значения Теперь подставим
Очень многое сокращается, и в первую очередь, конечно же, «убирается» поворот (слагаемое, содержащее произведение По всем признакам получается как раз парабола. Сократим каждое слагаемое на 2 и перебросим некоторые из них в правую часть: Перед слагаемым, содержащим «икс штрих», нарисовался знак минус, и это плохо. Для лучшего понимания я проиллюстрирую выполненные действия готовым чертежом: Таким образом, выясняется, что поворот исходной системы координат Начинаем всё сначала. Тангенс правильного «кандидата» Подставим значения И, наконец, подставим
Но при оформлении, конечно, желательно всё расписать подробно, как мы это сделали в ходе предыдущей неудачной попытки. Доводим уравнение до кондиции: Ну вот, так бы сразу: 2) Осталось откалибровать уравнение Таким образом, вершина параболы расположена в точке Путём параллельного переноса системы координат Выполним окончательный чертёж. Оси Ответ: данная линия представляет собой параболу, каноническое уравнение Интересно отметить, что для параболы метод инвариантов, хоть и не работает, но тоже позволяет найти её каноническое уравнение. Во-первых, полезно запомнить характеристический признак: уравнение линии 2-го порядка, инварианты которого удовлетворяют условиям Представьте, что вы видите уравнение
И, во-вторых, найденные инварианты позволяют найти фокальный параметр Таким образом: Желающие могут использовать данный путь для самопроверки или даже в качестве основного решения в критической ситуации – когда не получается найти уравнение параболы стандартным способом, но жизненно важно родить хоть что-то. Кроме того, нетрудно найти угол поворота, а там, глядишь, и прокатит. Следующий пример для самостоятельной разработки: Пример 4 Привести уравнение линии второго порядка к каноническому виду Выполнить чертёж, на котором отразить все преобразования системы координат. Краткий алгоритм решения с повторением важных моментов чуть ниже, а примерный образец оформления задачи – в конце урока. Следует отметить, что на практике достаточно популярна урезанная версия задачи. Случай, когда нужно выполнять только параллельный перенос, досконально изучен на предыдущих уроках, но бывает и так, что необходимо осуществить только поворот системы координат. Так, например, в уравнении
Полезно знать, что вырожденное уравнение параболического типа несложно выразить в явном виде и в исходной системе координат – проходят тривиальные алгебраические преобразования. Например: Что касается инвариантов, то дела обстоят хуже. Если для параболы мы ещё смогли вытянуть некоторую информацию из инвариантов, то здесь будем созерцать малополезный набор Систематизируем порядок действий в параболическом случае: 1) Из формулы 2) Для данного угла «альфа» рассчитываем 3) Подставляем найденные значения 4) Подставляем найденные выражения поворота 4*) Примерно в 15%-ах случаев (с нецентральной линией) может получиться уравнение, которое определяет параболу, развёрнутую относительно своего канонического положения (положительного направления оси 5) В полученном уравнении 6) Чертёж. Повторюсь, что во многих случаях пойдёт и схематическая версия, поскольку рисовать линии 2-го порядка под градусом – занятие нелёгкое. Рассмотренная схема решения с некоторыми изменениями применима и к эллиптическому, и к гиперболическому случаю: – В пункте №1 угол поворота находим по формуле – Центральные линии «не страдают синдромом параболы», поэтому формулы Любители потягать брёвна могут прорешать вторым способом Примеры №№1,2. Таким образом, рассмотренный метод решения универсален и применим к любой линии 2-го порядка. Более того, он недалеко ушёл от соответствующего теоретического материала, и теперь вам будет значительно легче разобраться в теории. На первом курсе Физмата мне «повезло» с билетом по аналитической геометрии и я где-то 3 часа мучался с поворотом линии 2-го порядка, решая задачу в общем виде. Поэтому сейчас было бы просто кощунственно скрыть от вас эти знания =) Успехов! Решения и ответы: Пример 2: Решение: приведём данной линии к каноническому виду Из уравнения Вычислим инварианты: Составим и решим систему: Подставим Подставляем ( сначала мысленно либо на черновике! ) значения Подставляем второй комплект корней Координаты Выполним чертёж: Ответ: Дополнительная информация: гиперболический случай выражается аналитическим условием Пример 4: Решение: сначала выяснить тип линии. Для этого вычислим определитель, составленный из коэффициентов Осуществим поворот прямоугольной системы координат Найдём искомый угол поворота: Если Подставим Подставим Выделим полный квадрат: Осуществим параллельный перенос системы координат
Автор: Емелин Александр
Высшая математика для заочников и не только >>> (Переход на главную страницу) Как можно отблагодарить автора?
|