Пример 1. В треугольнике с вершинами К (–5; 4), L (1; – 4), М (–9; 1) найти:

В треугольнике с вершинами К (–5; 4), L (1; – 4), М (–9; 1) найти:

а) уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту;

б) длину высоты, опущенной из вершины L;

в) точку N, симметричную точке L, относительно прямой, проходящей через точки К, М.

Решение

а) вектором нормали прямой (Lh), содержащей высоту, является вектор = – 4 i – 3 j. Находим уравнение прямой

–4(х –1) – 3 (у + 4) = 0, – 4 х – 3 у – 8 = 0.

(Lh): 4 х + 3 у + 8 = 0 – уравнение прямой, содержащей опущенную из вершины L высоту;

б) длина высоты, опущенной из вершины L, равна расстоянию r от точки L до прямой КМ, проходящей через точки К, М. Найдем уравнение этой прямой. Так как = – 4 i – 3 j, то n = 3 i – 4 j – век-
тор нормали этой прямой. Находим общее уравнение прямой (КМ): 3(х + 5) – 4(у – 4) = 0, КМ: 3 х – 4 у +31 = 0.

Нормальное уравнение прямой КМ имеет вид

– – длина высоты.

в) Чтобы найти точку N, необходимо определить точку пересечения прямых Lh, КМ, т.е. необходимо решить систему линейных уравнений

Теперь находим точку Так как то .

Ответ: а) (Lh): 4 х + 3 у + 8 = 0, б) , в) N (–11; 12).