Условия возбуждения колебаний

В качестве генератора гармонических колебаний обычно используется усилитель, охваченный обратной связью с выхода на его вход (рис. 1). Усилитель может быть выполнен на электронных лампах, биполярных или полевых транзисторах и интегральных микросхемах, выполненных на их основе.

U ¢ _вх U_вых

U_ос = bU_вых

Рис. 1. Усилитель с цепью обратной связью

В случае усилителя с комплексным коэффициентом передачи К, охваченного обратной связью, из теории известно выражение для его коэффициента передачи К ¢

где b - комплексный коэффициент обратной связи.

Анализ данного выражения показывает, что при отрицательных значениях произведения bК (при отрицательной обратной связи (ООС) К ¢ < К, причём, если << 1, то К ¢» -1/ b. Это свойство усилителя с ООС используется для стабилизации коэффициента передачи усилителя и для расширения его полосы пропускания.

В случае положительной обратной связи 1 > bК > 0 происходит возрастание К ¢ по сравнению с К. При bК = 1 коэффициент передачи усилителя, охваченного положительной обратной связью (ПОС), обращается в бесконечность и происходит самовозбуждение усилителя, то есть он превращается в генератор.

Поскольку b и К являются комплексными величинами, условие bК = 1 можно представить в виде

f_b + f_К = 2p n,

где n = 1; 2; 3 …..

Условие равенства единице модулей коэффициентов передач называется балансом амплитуд, а условие кратности 2p суммы аргументов – балансом фаз.

При выполнении баланса фаз и амплитуд > 1 в усилителе происходит возрастание амплитуды колебаний до тех пор, пока значение не уменьшится до величины 1/ за счёт нелинейности амплитудной характеристики усилителя, крутизна которой снижается с увеличением амплитуды усиливаемых колебаний (рис. 2).

U_вых, К

U_{ст вых}

U_вых

К

К = - 1/ b

U_вх

U_{ст вх}

Рис. 2. Амплитудная характеристика усилителя и зависимость

коэффициента усиления от амплитуды входного напряжения

2.2. Автогенераторы LC – типа.

Рассмотрим схему автогенератора на полевом транзисторе (ПТ) с колебательным контуром LC – типа, приведённую на рис. 3.

Положительная обратная связь в усилителе, нагрузкой которого служит катушка связи L_{св .}, создаётся через параллельный колебательный контур, включённый во входную цепь усилителя.

Индуктивность контура L_к имеет трансформаторную связь через катушку L_св с выходной цепью усилителя. Использование колебательного контура позво-

ляет обеспечить условие возбуждение колебаний на резонансной частоте конту-

ра , на которой выполняется условие баланса амплитуд и баланса фаз. Ток в контуре i_к связан с напряжением на конденсаторе U_с выражением

i_c = SU_с ,

где S – крутизна линейной вольтамперной характеристики ПТ.

R_к

i

ПТ

L_св C_к

L_к

i_к

С ₁ R ₁ R ₂ С ₂

+ U_п

Рис. 3. Автогенератор с трансформаторной связью на ПТ

Наведённая в колебательном контуре ЭДС определяется током стока ПТ и взаимной индуктивностью М между катушками.

Приведём уравнение Кирхгофа для суммы напряжений на элементах колебательного контура

Знак + или – обусловлен согласным или встречным включением катушки связи и колебательного контура.

Используя соотношение (4, 5) приведём уравнение (6) к виду

При постоянных значениях коэффициентов данное выражение представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Используя обозначение

приведём уравнение (7) к виду

P ² + 2 aP + w ²₀ = 0.

Корни характеристического уравнения имеют вид

Если добротность Q >> 1 или a << w₀, то

P _1,2 = - a ± jw_р - a ²» - a ± jw ₀ ,

где w _р =

U_c (t) = Ae ^{- at} cos (w ₀ t + f ₀),

где постоянные интегрирования A и f ₀ определяются начальными условиями.

Для пассивной цепи a = R /2 L > 0 и колебания U_c (t) будут затухающими.

R < MS / C,

то есть при a = 0,5(R / L - MS / LC).

Сравнивая приведённое условие с (1) отметим то, что в данном выражении крутизна характеристики S характеризует его коэффициент усиления К = SR_н, а взаимная индуктивность М – коэффициент обратной связи b. Усилитель с положительной обратной связью компенсирует собственные потери энергии колебательного контура, внося в него отрицательное активное сопротивление.

S ₁(U_mc) = I_{m 1}(U_mc)/ U_mc,

где I_{m 1} – амплитуда первой гармоники тока стока ПТ усилителя с колебательным контуром. Выражение (8) можно записать в виде

в котором с возрастанием амплитуды колебаний a увеличивается от некоторого отрицательного значения до 0.

Условие стационарной амплитуды колебаний для a = 0 будет иметь вид

S (U_mc) = RC / M.

При известной зависимости S (U_mc) данное выражение позволяет определить амплитуду стационарных колебаний в контуре.

Для стабилизации частоты генерируемых колебаний необходимо, чтобы в колебательном контуре и усилителе параметры элементов электрической схемы мало зависели от условий внешней среды, а из условия баланса фаз для стабилизации частоты колебаний требуется максимальная крутизна фазочастотной характеристики колебательного контура. Таким образом, высокая стабильность частоты генерируемых колебаний достигается при высокой добротности колебательной системы и стабильности параметров элементов контура и электрической схемы усилителя.

Реальная добротность катушек индуктивности колебательных контуров на средних и высоких частотах не превышает значений 150…200, а добротность резонаторов СВЧ, используемых в качестве колебательных систем, значений нескольких тысяч, что ограничивает стабильность частоты генерируемых колебаний.

2.3. Электрические схемы LC – генераторов.

Результаты исследования колебательного процесса на основе схемы автогенератора с трансформаторной связью (рис. 3) можно использовать и для других вариантов схем автогенераторов, поскольку выполнение условий баланса фаз и амплитуд для режима стационарных колебаний является основополагающим фактором.

+ U_п

R_ф

L_св L_к С_к С_ф

С_р U_вых

ПТ

R_и С_и

Рис. 4. Электрическая схема автогенератора с LC – контуром

в цепи стока ПТ и с трансформаторной связью

На рис. 4 приведена электрическая схема автогенератора с LC – контуром в цепи стока ПТ и с трансформаторной связью, а на рис. 5 эквивалентные схемы LC – генераторов, выполненных по схеме индуктивной (а) и ёмкостной (б) трёхточки.

При анализе трёхточечных схем используем её обобщённый вариант, включающий элементы колебательного контура Z ₁, Z ₂, Z ₃ усилитель с коэффициентом передачи К (рис. 6).

ПТ

С

ПТ L

L ₂ C ₂

L ₁

C ₁

а) б)

Рис. 5. Эквивалентная схема LC – генератора, индуктивная (а)

и ёмкостная (б) трёхточки

Z ₃

Z ₂ Z ₁

U_вых

Рис. 6. Обобщённый вариант трёхточечной схемы автогенератора

b = Х ₁/(Х ₁+ Х ₃).

Х ₁+ Х ₂+ Х ₃ = 0.

Если напряжение обратной связи поступает на инвертирующий вход усилителя, то из условия баланса фаз цепь обратной связи (Z ₁ и Z ₃) должна вносить фазовый сдвиг равный p, то есть f_b = p. Тогда f_к + f_b = 2p и баланс фаз выполняется. Условие (f_b = p) достигается из (18) в том случае, если < , а Х ₁ и Х ₃ являются реактивностями противоположного вида (Х ₁ - ёмкость, а Х ₃ – индуктивность или наоборот). В первом случае получим индуктивную трёхточку, а во втором – ёмкостную.

Поскольку < , то для выполнения условия (19) необходимо, чтобы Х ₂ была индуктивностью того же знака, что и Х ₁ (рис. 7).

Если обратная связь поступает на неинвертирующий вход усилителя (f_к = 0), то и f_b должна быть равна нулю, следовательно, Х ₁ и Х ₃ должны быть реактивностями одного вида (ёмкости или индуктивности) (рис. 8). В приведённых схемах не рассматриваются цепи питания входной и выходной цепи по постоянному току.

С ₃ L ₃

L ₁ C ₂ C ₁

L ₂

U_вых U_вых

а) б)

Рис. 7. Трёхточечная схема LC – генераторов с ОС на инвертирующий вход

(а – индуктивная, б – ёмкостная)

L ₃ C ₃

C ₂ L ₂

L ₁ C ₁

U_вых U_вых

а) б)

Рис. 8. Трёхточечная схема LC – генератора с ОС на неинвертируюший вход

(а – индуктивная, б – ёмкостная)

Отметим, если усилитель в инвертирующей схеме сдвигает фазу не на 180°, а, например, f_к = 200°, то из условий баланса фаз f_b должно равняться 160°. Такой фазовый сдвиг в цепи обратной связи может быть получен, если частота колебаний отличается от резонансной частоты колебательного контура. Таким образом, фазочастотная характеристика усилителя при разомкнутой цепи обратной связи влияет на частоту колебаний автогенератора.