Туннельный эффект. * Туннельный эффект – это прохождение микрочастицы через потенциальный барьер в том случае, когда полная энергия Е частицы меньше высоты барьера (см

* Туннельный эффект – это прохождение микрочастицы через потенциальный барьер в том случае, когда полная энергия Е частицы меньше высоты барьера (см. рис.).

В классической теории это невозможно. Если классическая частица с энергией Е = mV ²/2, скользя без трения, повстречает горку высотой h > V ²/2 g, то, поднявшись до точки поворота, в которой вся ее кинетическая энергия превратится в потенциальную, частица эту горку «не пройдет», повернув обратно.

Используемый термин «туннельный эффект» может создать неверное впечатление о точечной микрочастице, преодолевающей потенциальный барьер сквозь некий «туннель». Это не так. Квантовая теория – уравнение Шредингера – описывает не точечную частицу, а «размазанное» в пространстве «облако» плотности вероятности ее обнаружения |Y(x, t)|². Если часть этого «облака» оказывается позади барьера, то для микрочастицы существует конечная вероятность оказаться за барьером.

Если же рассматривать частицу как точечный объект, уменьшая неопределенность ее координаты D x, то возрастает неопределенность импульса и энергии. Тогда частица может оказаться в виртуальном состоянии и изменить свою энергию на величину D Е ³ U ₀ – Е. Это происходит в результате поглощения виртуального фотона, испускаемого частицами, создающими потенциальный барьер. Налетающая частица окажется над барьером шириной а (рис.).

Если время существования в таком состоянии D t > а / с (с – скорость света в вакууме), то она может успеть «перелететь» через барьер и вернуться в состояние с прежней энергией Е.

* Полная энергия микрочастицы Е при туннельном переходе измениться не может.

Используем соотношение неопределенностей для определения ширины потенциального барьера:

D x ×D p_x ³ /2; D y ×D p_y ³ /2; D z ×D p_z ³ /2; D t ×D E ³ /2;…

для которого возможен туннельный эффект:

D E ×D t ~ ³ (U ₀ – E)×(a / c) или a £ c /(U ₀ – E).

Покажем, что уравнение Шредингера допускает туннельный эффект. Пусть частица массы m и энергией Е движется вдоль оси x и налетает на потенциальную ступеньку (область, в которой потенциальная энергия U ₀ частицы постоянна, U ₀ > Е).

Это происходит, например, при движении свободного электрона с энергией Е в металле. Существование двойного электрического слоя на границе металла приводит к тому, что потенциальная энергия электрона вне металла возрастает на величину U ₀, где U ₀ – Е = А _вых – работа выхода электрона из металла. Классический электрон оказаться вне металла в области x > 0 не может и вылетает из металла только за счет фотоэффекта, поглощая фотон с энергией w > А _вых.

К потенциальной энергии U (x) можно добавить или вычесть любую постоянную величину (так как U определена с точностью до произвольной постоянной). Þ Совместим начало координат x = 0 со ступенькой и пусть в области I (x < 0) потенциальная энергия падающей на ступеньку частицы равна нулю (см. рис.).

Уравнение Шредингера

в нашем случае запишется в виде:

, x < 0,

, x > 0,

где > 0, > 0.

Решения этих уравнений:

Y_I (x) = A e ^ikx + B e^{– ikx} ; Y_II(x) = C e^{– cx} + F e ^cx, (*)

Здесь Y_пад = A e ^ikx _, Y_отр= B e^{– ikx}, Y_пр = C e^{– cx}, F e ^cx = 0, А, В, С, F – постоянные интегрирования.

Пусть Е – U = p ²/2 m Þ в области I имеем:

k = p / (сравним с ) Þ Y_пад = A e ^ikx = А е^{– ipx /} описывает свободную частицу, летящую вдоль оси x, то есть, падающую на ступеньку.

Y_отр= B e^{– ikx} = В е^{– ipx /} соответствует частице, летящей против оси x, то есть, отраженной от ступеньки.

Волновая функция Y_пр = C e^{– cx} опишет состояние частицы, прошедшей в классически запрещенную область II (классическая частица в этой области не существует, так как ее импульс p = (2 m /(E – U ₀))^1/2 будет мнимым из-за

Е < U ₀, см. рис.). F = 0 из граничного условия |Y_II|² _{x ®¥} ¹¥ (вероятность обнаружения частицы в области x ®¥ не может быть бесконечной).

Константы А, В и С ищем из условия непрерывности функции Y(x) на границе двух областей:

* На любой границе следует приравнять волновые функции и их первые производные:

Y_I| _{x = 0} = Y_II| _{x = 0}; (d Y_I/ dx)| _{x =0} = (d Y_II/ dx)| _{x =0} Þ A + B = C;

ikA – ikB = – cC,

откуда имеем систему уравнений: .

Вероятность обнаружения частицы в области II не равна нулю:

|Y_пр|² = | C e^{– cx} |² = = = .

Эта вероятность очень быстро убывает по экспоненте с глубиной проникновения x в классически запрещенную область и быстро становится пренебрежимо малой. Частицы не могут проникнуть глубоко и обязаны отразиться с вероятностью, равной 1.

Но если вместо бесконечной прямоугольной ступеньки рассматривать прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины а, то частица с вероятностью |Y_пр|² _x=a = const ×e^{–2c x} окажется за барьером и улетит далее вдоль оси x. Осуществится туннельный эффект.

Вероятность преодоления потенциального барьера:

D = j _пр/ j _пад – отношение потока прошедших частиц к потоку падающих.

Для прямоугольного барьера:

D = |Y_пр|²/|Y_пад|² = const ×e^{–2c а} = const ×exp(–2 )/

Для потенциального барьера произвольной формы:

– вероятность туннельного преодоления падающей микрочастицей с массой m и энергией Е потенциального барьера произвольной формы. Эта формула является приближенной (так как константа перед экспонентой не определена).