Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Полный дифференциал функции двух переменных и его применение в приближенных вычисленияхПусть задана функция двух переменных . Легко доказать, что если приращение функции (4) можно представить в виде , (5) где и - некоторые константы, а , то в точке существуют частные производные этой функции, причем , . Таким образом, при условии существования частных производных функции в точке выражение (5) можно записать в виде: . (6) При выполнении формулы (6) функция называется дифференцируемой в точке и выражение , то есть линейная часть приращения функции называется ее полным дифференциалом и обозначается символом или . Под дифференциалами независимых переменных понимают произвольные приращения , , поэтому полный дифференциал функции можно записать в виде: или . Слагаемые, стоящие в правой части последнего равенства называются частными дифференциалами функции . Таким образом, полный дифференциал функции равен сумме ее частных дифференциалов. Полный дифференциал функции нескольких переменных (в нашем случае двух) с успехом применяется в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть, например, мы имеем функцию двух переменных. При определении значений независимых переменных и будем допускать погрешности и соответственно. Тогда значение , вычисленное по неточным значениям аргументов, также получится с погрешностью . Оценим эту погрешность. Заменим приближенно приращение функции ее дифференциалом (это оправдано лишь при достаточно малых значениях и ). Получим . Здесь и погрешности , , и коэффициенты при них могут быть как положительными, так и отрицательными; заменяя те и другие их абсолютными величинами, придем к неравенству: . Если через , , обозначить максимальные абсолютные погрешности (или границы для абсолютных погрешностей), то можно, очевидно, принять . (7) При этом само приближенное значение функции вычисляется по формуле: . (8) Пример 4. Дана функция и точка . С помощью дифференциала вычислить приближенные значения функции в данной точке. Пусть , , тогда , . По формуле (8) вычислим значение функции: . Вычислим отдельно частные производные заданной функции: ; . Вычислим значения функции и частных производных в точке : ; ; . Тогда
Ответ:
Решение типового варианта (задания 1-9).
|