Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. 29 Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (число m) такое, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенству x_n £ M (x_n ³ m).

Определение 30. {x_n} - ограничена сверху Û $M "x_n: x_n £ M.

Пример 18. {1/n} - ограничена сверху единицей

Определение 31 {x_n} - ограничена снизу Û $m"x_n:m £ x_n.

Пример 19. {1/n} – ограничена снизу нулем.

Определение 32. Последовательность {x_n} называется ограниченной,

если она ограничена и сверху и снизу т.е. существуют числа m и M такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам m £ x_n £ M.

{x_n} - ограничена Û $(m,M)"x_n: m £ x_n £ M

Пример 20. {1/n} - ограничена нулем снизу и единицей сверху.

2.8. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 33. Последовательность {a_n} называется бесконечно малой, если для любого положительного числа e (сколь малым его не взять) существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство |a_n|<e

{a_n} - б.м.п. Û ("e > 0)($a > N): |a_n| < e Û a_n = 0.

Замечание. Термин «бесконечно малая» прилагается к переменной величине имеющей пределом 0. Поэтому нельзя называть бесконечно малым никакое фиксированное число, если оно не равно нулю. В частности нельзя называть бесконечно малым и никакое отличное от нуля отдельно взятое число. Все значения переменной x_n хотя бы эта переменная и была бесконечно малой.

б) арифметические действия над бесконечно малыми последовательностями

Теорема 1. Пусть даны {a_n},{b_n}- б.м.п.

Тогда 1) {a_n±b_n}-б.м.п.

2) {a_n b_n}- б.м.п.

3) {C a_n}- б.м.п.

4) {a_n C_n}- б.м.п.

{x_n}- ограниченная последовательность

Доказательство.

1) {a_n} - б.м.п. Û ("e>0)($N₁(e)ÎN)("n>N₁): | a_n |< e/2

{b_n} - б.м.п. Û ("e>0)($N₂(e)ÎN)("n>N₂):| b_n | < e/2

Возьмем N = max {N₁, N₂}, тогда

("e>0)($N(e)ÎN)(">N(e)): |a_n ± b_n| £ |a_n| + |b_n| < e/2 + e/2 = e.

2) {a_n} - б.м.п. Û "e>0 $N₁ "n>N₁: |a_n| < e

{b_n} - б.м.п. Û "e $N₂ "n>N₂: |b_n| < e

Возьмем N = max{N₁,N₂}, тогда

$N "n>N: |a_n b_n| = |a_n||b_n| < e× Û {a_n b_n} - б.м.п.

Следствие. {a_n} × M - б.м.п где, M - число

Замечание 1. {a_n ± b_n} - сумма (разность) конечного числа

б.м.п., есть бесконечно малая последовательность.

Замечание 2. Теорема распространяется на любое конечное

число слагаемых. Так, например,

x_n = + +...+ .

Каждое слагаемое бесконечно малая при n®¥. Однако

x_n = 1, следовательно, если число слагаемых будет ¥, то

x_n = n. Очевидно, при n®¥ x_n®¥ т.е. не будет б.м.п.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла, например,

1) a_n = ; b_n = ; a_n/b_n = 1

2) a_n = ; b_n = ; a_n/b_n = n - б.б.п.

3) a_n = ; b_n = ; a_n/b_n = 1/n - не имеет смысла.

Определение 34. {x_n} - б.б.п. Û "e>0 $N "n>N: e<|x_n|

Пример 21. Покажем, что qⁿ = ¥, если |q| > 1.

Решение. Действительно |q| =1 + p, где p > 0, получаем на основании |q|ⁿ = (1 + p)ⁿ > 1 + np > np. Пусть задано любое число M > 0 т.к. |q^n| > M "n > M/R, то заключаем, что {qⁿ} - б.б.п.

Замечание. Очевидно, что любая б.б.п. является неогрниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой.

Пример 22. Последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4,...,1, n, 1, n + 1,…. не является бесконечно большой, поскольку при n > 1 неравенство |x_n| >A выполняется не для всех x_n с нечетными.