Понятие функции

Пусть Х и У - некоторые числовые множества.

Определение 10. Всякое множество f ={(x,y)} упорядоченных пар (x,y), xÎX, yÎY такое, что для любых пар (x¢,y¢)Îf и (x¢¢,y¢¢)Îf из условия y¢ ¹ y¢¢ следует, что x¢ ¹ x¢¢, называется функцией или тоже самое отображением.

При этом говорят, что числу х поставлено в соответствие число у и пишут у = f(x). Число у называется значением функции f в точке х. Переменную у называют зависимой переменной, а переменную х -независимой переменной (или аргументом). Множество Х = D называется областью определения (или существования), а множество У = Е - множеством значений функций.

Наряду с термином “функция” используют равнозначный термин “отображение” и пишут . Графиком функции y = f(x) называется множество

Замечание. Не всякая линия является графиком какой – либо функции. Например, окружность х² + у² = 1 не является графиком функции, так как каждое х (-1;1) входит не в одну, а в две пары чисел (х;у) с разными значениями у: у₁ и у₂ = - , что противоречит требованию однозначности функции.

Однако нижняя часть окружности (рис.1), является графиком функции у = - , а верхняя часть (рис.2) - графиком функции .

у

у

y₁

-1 0 x₀ 1 х

-1 0 x_o 1 х

y₂

Рис.4 Рис.5

Пример функций, где у встречается не один раз.

у

у=х²

x₁ 0 x₂ х

Рис.6

y = х² - двузначная функция.

y = sinx - многозначная функция.