Схема проверки нулевой гипотезы

1. По выборке строят статистический ряд; он может быть как дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определенности интервальный ряд:

			…
			…

2. По данным предыдущих исследований или по предварительным данным делают предположение (выдвигают гипотезу) о модели закона распределения генеральной совокупности .

Для предположения модели закона распределения генеральной совокупности можно использовать графическое представление выборки.

3. Используя выборочные данные, строят оценки параметров выбранной модели закона распределения.

4. Определяют теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле

, (9.6.1)

где — предполагаемая функция распределения генеральной совокупности .

4. Определяют расчетное значение критерия К. Пирсона по формуле

или

.

5. Выбрав уровень значимости , находят критическую область (она всегда правосторонняя) . Границу критической области можно найти одним из следующих:

§ используя таблицы –распределения с степенями свободы;

§ используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен уровню значимости, а аргумент «степени_свободы» должен быть равен ;

§ используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны: .

6. Если расчетное значение попадает в критическую область , то нулевая гипотеза отвергается и принимается альтернативная гипотеза.

Замечание. При применении критерия К. Пирсона в каждом интервале должно быть не менее 5 элементов выборки (т.е. ). Если это условие не выполняется, то число интервалов надо уменьшить путем объединения соседних интервалов.

Пример 5. Получены значения случайной величины .

Необходимо:

1. Найти выборочные характеристики: выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию.

2. Построить доверительной вероятностью 0,95 доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.

3. Построить гистограмму.

4. Проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости .

m Решение. Учитывая, что количество значений равно 100, определяем выборочное среднее и исправленную выборочную дисперсию:

.

.

Замечание. Выборочное среднее можно определить используя функцию СРЗНАЧ(число1; число2;...) из EXCEL, а исправленную выборочную дисперсию можно определить используя функцию ДИСП(число1;число2;...) из EXCEL.

Перейдем к построению доверительных интервалов. При построении доверительного интервала для математического ожидания считаем, что при этом дисперсия не известна. Как известно из предыдущей главы, необходимо использовать формулу

,

в которой неизвестна только величина , являющаяся квантилем –распределения с числом степеней свободы. Для доверительной вероятност и найдем квантиль ‑распределения с числом степеней свободы. Для этого используем, например, функцию qt(p, d) из MATHCAD: или функцию СТЬЮДРАСПОБ(вероятность; степени_свободы) из EXCEL: или Приложение 5.

Определяем точность оценки

.

Таким образом, получаем доверительный интервал

.

Построим доверительный интервал для дисперсии при неизвестном математическом ожидании. В этом случае необходимо использовать формулу

,

где — квантиль уровня –распределения с степенью свободы.

Для данной формулы необходимо вычислить квантили и . Используя функцию qchisq(p, d) из MATHCAD, получим: и . Аналогичный результат можно получить используя функцию ХИ2ОБР (вероятность;степени_свободы) из EXCEL: , .

Таким образом, получаем доверительный интервал

.

Перейдем к построению гистограммы. Построим интервальный ряд. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величины (т.е. крайние члены вариационного ряда): и . Для нахождения минимального и максимального значений случайной величины можно использовать функции МИН(число1;число2;...) и МАКС(число1;число2;...) из EXCEL. Размах варьирования будет равен .

Возьмем число частичных интервалов . В этом случае длина частичного интервала равна

.

Соответствующий интервальный ряд приведен в таблице 9.2.

Таблица 9.2

Номер интервала	Средний пробег автомобилей (интервалы)	Частота	Относительная частота
	0,4 — 0,44		2,5
	0,44 — 0,48
	0,48 — 0,52		2,25
	0,52 — 0,56		5,25
	0,56 — 0,6		5,25
	0,6 — 0,64		3,25
	0,64 — 0,68		2,5
	0,68 — 0,72

Гистограмма приведена на рис 9.4.

Проверим гипотезу о распределении случайной величины . Найдем теоретические вероятности попадания случайной величины в интервалы по формуле , где — функция распределения нормального закона. Так как случайная величина , подчиненная нормальному закону распределения, определена на , то крайние интервалы в ряде распределения следует заменить на и . Тогда

Дальнейшие вычисления удобно оформить в виде таблицы (табл. 9.3).

Таблица 9.3

Номер интервала i	средний пробег автомобилей (интервалы)	Частота	Теоретические частоты
	0,4 — 0,44		0,0749	7,49	13,3511
	0,44 — 0,48		0,0962	9,62	6,6528
	0,48 — 0,52		0,1517	15,17	5,3395
	0,52 — 0,56		0,1932	19,32	22,8261
	0,56 — 0,6		0,1859	18,59	23,7224
	0,6 — 0,64		0,1466	14,66	11,5280
	0,64 — 0,68		0,0872	8,72	11,4679
	0,68 — 0,72		0,0643	6,43	9,9533
Итого					104,8411

Определяем расчетное значение критерия К. Пирсона:

Находим число степеней свободы. По выборке были рассчитаны два параметра, значит, . Количество интервалов 8,т.е. . Следовательно, . Зная, что и , находим границу правосторонней критической области (см. Приложение 4). Таким образом, критической областью является интервал .

Так как расчетное значение критерия К. Пирсона не попадает в критическую область, то нет оснований отвергнуть проверяемую гипотезу о нормальном законе распределения. l