Доверительный интервал для математического ожидания генеральной совокупности, имеющей нормальное распределение при известной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения при известной дисперсии и неизвестном математическом ожидании , произведена случайная выборка . Для оценки математического ожидания используем статистику , которая имеет нормальное распределение с параметрами . Тогда статистика имеет нормальное распределение с параметрами . Найдем вероятность отклонения :

(8.4.5)

Интервал , определенный по (8.4.5), представляет собой доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии . Осталось указать, как, зная доверительную вероятность , выбрать в (8.4.5) значение . Ответом на этот вопрос является доказанная ранее теорема, т.е. является квантилем уровня нормального распределения с параметрами .

Таким образом, доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии строится следующим образом:

1. Вычисляем оценку , которая является средним арифметическим элементов выборки .

2. Вычисляем квантиль нормального распределения с параметрами .

3. Строим доверительный интервал, который имеет вид:

.(8.4.6)

Очевидно, что точность оценки равна

. (8.4.7)

Замечание. Квантиль нормального распределения с параметрами можно определить разными способами, например:

§ используя таблицы функции нормального распределения с параметрами (Приложение 3);

§ используя функцию НОРМСТОБР(вероятность) из EXCEL, при этом аргумент «вероятность» данной функции должен быть равен ;

§ используя функцию qnorm(ν, m, σ) из MATHCAD, при этом переменные данной функции должны быть равны .