Занятие 14. Отображения, их виды. Преобразования множества. Композиция преобразований

Задачи

1. Какие из приведенных ниже высказываний верны, а какие – нет?

а) Функция есть отображение множества всех действительных чисел в множество ;

б) Функция есть отображение множества всех неотрицательных действительных чисел во множество ;

в) Вычитание натуральных чисел есть отображение множества N × N во множество целых чисел.

2.. На плоскости задана аффинная система координат . Каждой точке ставится в соответствие точка , где . Тем самым задано отображение плоскости в себя. Найти образы и прообразы точек . Сделать рисунок.

3. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя, найти:

а) образ отрезка [0; 2];

б) полный прообраз отрезка [0; 1];

в) множество значений данного отображения.

4. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя, найти:

а) образ отрезка [0; π ];

б) полный прообраз числа 0;

в) множество значений данного отображения.

5. Пусть А={1; 2; 3; 4}, В={а; b; с; d; е}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъективным, но не сюръективным.

6. Пусть A ={1; 2; 3; 4; 5}, В ={ а; b; с; d }. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы сюръективным, но не инъективным.

7. Пусть A ={1; 2; 3; 4}, В ={ а; b; с; d }. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъекцией и сюръекцией, т.е. биекцией.

8. Рассматривая функцию y = sin x как отображение множества R в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

9. Рассматривая функцию y = sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

10. Рассматривая функцию y = sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

11. Доказать, что если отображение f: является биекцией, то всякий элемент множества B имеет ровно один прообраз.

12. Дано отображение f: . Доказать, что если всякий элемент множества B имеет ровно один прообраз, то f – биекция (признак биективности).

13. Задать какое-нибудь преобразование:

а) множества A ={1; 2; 3};

б) множества B ={ а; b; с; d }.

14. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′ = x + y +1, y′ = x – y +2. Доказать, что f – преобразование плоскости.

15. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′ = а ₁ x + b ₁ y + c ₁, y′ = а ₂ x + b ₂ y + c ₂ (1). Доказать, что отображение f является преобразованием тогда и только тогда, когда .

16. Являются ли преобразованиями плоскости, отображения, заданные следующими формулами:

а) x′ = x – 2 y + 5, y′ = 3 x – 6 y + 1;

б) x′ = x – 2 y + 5, y′ = 3 x – 5 y + 1;

в) x′ = x + 1, y′ = x + y.