Занятие 14. Отображения, их виды. Преобразования множества. Композиция преобразований

Задачи

1. Какие из приведенных ниже высказываний верны, а какие – нет?

а) Функция есть отображение множества всех действительных чисел в множество ;

б) Функция есть отображение множества всех неотрицательных действительных чисел во множество ;

в) Вычитание натуральных чисел есть отображение множества N×N во множество целых чисел.

2. . На плоскости задана аффинная система координат . Каждой точке ставится в соответствие точка , где . Тем самым задано отображение плоскости в себя. Найти образы и прообразы точек . Сделать рисунок.

3. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя , найти:

а) образ отрезка [0; 2];

б) полный прообраз отрезка [0; 1];

в) множество значений данного отображения.

4. Рассматривая функцию как отображение множества R в себя, найти:

а) образ отрезка [0; π];

б) полный прообраз числа 0;

в) множество значений данного отображения.

5. Пусть А={1; 2; 3; 4}, В={а; b; с; d; е}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъективным, но не сюръективным.

6. Пусть A={1; 2; 3; 4; 5}, В={а; b; с; d}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы сюръективным, но не инъективным.

7. Пусть A={1; 2; 3; 4}, В={а; b; с; d}. Задать какое-нибудь отображение f: , которое было бы инъекцией и сюръекцией, т.е. биекцией.

8. Рассматривая функцию y=sin x как отображение множества R в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

9. Рассматривая функцию y=sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

10. Рассматривая функцию y=sin x как отображение отрезка в отрезок [–1; 1], выяснить, является ли это отображение инъекцией? сюръекцией? биекцией?

11. Доказать, что если отображение f: является биекцией, то всякий элемент множества B имеет ровно один прообраз.

12. Дано отображение f: . Доказать, что если всякий элемент множества B имеет ровно один прообраз, то f – биекция (признак биективности).

13. Задать какое-нибудь преобразование:

а) множества A={1; 2; 3};

б) множества B={а; b; с; d}.

14. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′= x+y+1, y′= x–y+2. Доказать, что f – преобразование плоскости.

15. Отображение f плоскости в себя в некотором аффинном репере задано формулами x′= а₁x+ b₁y+ c₁, y′= а₂x+ b₂y+ c₂ (1). Доказать, что отображение f является преобразованием тогда и только тогда, когда .

16. Являются ли преобразованиями плоскости, отображения, заданные следующими формулами:

а) x′= x – 2y + 5, y′= 3x – 6y + 1;

б) x′= x – 2y + 5, y′= 3x – 5y + 1;

в) x′= x + 1, y′= x + y.

Date: 2015-05-04; view: 569; Нарушение авторских прав