Примеры вычисления моментов инерции

1. Определим момент инерции тонкого однородного стержня длиною L и массой m относительно оси, проходящей через один из его концов. (см.рис.)

Направим ось Х вдоль стержня. Стержень будем считать тонким. Выделим элементарную массу , имеющую длину и расположенную на расстоянии Х от оси вращения. Причем, поскольку стержень однородный масса этого элемента

Тогда

Проинтегрировав по всей длине стержня получим:

Момент инерции этого же стержня относительно оси, проходящей через центр масс определяется как:

2. Определим момент инерции однородного диска, расположенного

перпендикулярно оси вращения, проходящей через центр масс. Радиус диска R, масса – m. Используя симметрию задачи, разобьем диск на элементарные массы в виде тонких колец радиусом r и шириной . (см.рис.)

Масса этого элемента , где - площадь поперечного сечения диска или поверхностная плотность диска, - площадь кольца. Тогда . Интегрируя в пределах от 0 до R, получим:

3. Тонкое однородное кольцо, расположенное перпендикулярно оси вращения, проходящей через центр масс. (см.рис.)

Выделим элементарную массу , длиной , тогда , здесь - линейная плотность массы, то есть масса

приходящаяся на единицу длины. Так как все элементарные массы расположены на одинаковом расстоянии от оси вращения (кольцо тонкое)

Date: 2015-11-13; view: 335; Нарушение авторских прав