Уравнение моментов при вращении тела вокруг неподвижной оси

Рассмотрим вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси (см.рис.). Пусть материальная точка вращается по окружности, тогда момент импульса относительно оси вращения и следовательно .

Выразим линейную скорость через угловую и подставим в выражение для момента импульса:

Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью, то суммарный момент импульса будет иметь вид:

(7.8)

где .

Величина, равная сумме произведений элементарных масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения называется моментом инерции системы относительно этой оси.

В случае сплошного тела, момент инерции относительно заданной оси равен интегралу по всей массе тела от произведения элементарной массы на квадрат ее расстояния до оси вращения:

Подставим в (7.8), получим, что момент импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость вращения тела:

(7.9)

Сравнивая с определением импульса тела , видим, что в динамике твердого тела аналогом массы является момент инерции. При вращательном движении момент инерции характеризует инертные свойства тела.

Подставим (7.9) в уравнение моментов в проекции на ось и получим основное уравнение вращательного движения вокруг неподвижной оси:

(7.10)

М – момент внешних сил относительно оси вращения. Если рассматривается вращение твердого тела или системы материальных точек с неизменной конфигурацией вокруг неподвижной оси, момент инерции I остается неизменным и уравнение (7.10) принимает вид:

Учитывая, что угловое ускорение, запишем:

(7.11)

Произведение момента инерции твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение равно моменту внешних сил относительно той же оси.

Уравнение (7.11) представляет собой уравнение моментов при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Оно является аналогом второго закона Ньютона в классической механике:

Если момент сил относительно оси вращения равен нулю, тогда согласно , Отсюда (7.12)

Равенство (7.12) представляет собой закон сохранения момента импульса при вращении тела вокруг неподвижной оси: произведение момента инерции тела относительно оси вращения на угловую скорость вращения постоянно, если момент сил относительно оси вращения равен нулю. Это выражение аналогично закону сохранения импульса при поступательном движении тела: .