Евклидово n – мерное метрическое пространство Rn

Введем в векторном пространстве Аⁿ скалярное произведение векторов =(х₁, х₂, … х_n), =(у₁, у₂, … у_n) формулой:

× = х ₁× у ₁+ х ₂· у ₂+…+ x_n · y_n. (3)

Из определения вытекают следующие свойства «скалярного умножения» для любых векторов , , Î Aⁿ и любого числа a Î R:

1. × = × ,

2. a × = a × ,

3. ( + )× = × + × .

Векторы , называют ортогональными (перпендикулярными в случае n =2, n =3), если их скалярное произведение равно нулю: × =0.

Длину вектора (норму вектора) в n - мерном пространстве определим величиной

(4)

Очевидно, каждый вектор ¹ имеет положительную длину, и лишь вектор-нуль имеет длину, равную нулю: .

Евклидову метрику (расстояние) между точками (векторами), , пространства Aⁿ определим формулой:

(5)

Это полный аналог расстояния в декартовой системе координат между точками на плоскости (n =2) или в пространстве (n =3).

Расстояние удовлетворяет аксиомам метрического пространства см. п. 2, § 2:

1. r (, ) = 0 тогда и только тогда, когда = ;

2. r (, ) = r (, ) – свойство симметрии;

3. если = (z₁, z₂, …, z_n) некоторая третья точка пространства, то справедливо неравенство треугольника:

r (, ) ≤ r (, )+ r (, ).

Определение 2. Векторное пространство Aⁿ с евклидовой метрикой (5) называется евклидовым n – мерным пространством Rⁿ.

Вектор называется нормированным (также единичным вектором) если = 1. Для «нормировки» произвольного вектора ≠ достаточно умножить этот вектор на число l = :

Примерами попарно ортогональных и нормированных векторов (ортонормированных) являются векторы = (1, 0, …, 0), = (0, 1, …, 0), …, = (0, 0,…, 1).

Любой вектор = (х₁, х₂, …, х_n)Î Rⁿ можно представить линейной комбинацией векторов , , …, :

= (х₁, х₂, …, х_n) = х₁ × + х₂ × +…+ х_n × .

Пример 1. Скалярное произведение векторов , из предыдущего примера 1, п. 1 равно · = (-2)·1+3·0+1·4+0·(-3)=2.

Длина (норма) вектора равна ê ê= = , вектора 2 –3 равна │2 –3 │= = , последнее равносильно тому, что расстояние между точками пространства 2 и 3 равно r (2 , 3 )= . Вектор = = (-2, 3, 1, 0)=( 0) будет единичной длины, нормированным.