Основной закон динамики вращательного движения. Момент силы. Момент инерции

Вращательное движение твердого тела является одним из видов механического движения, в значительной степени определяющим законы функционирования как различных технических устройств, так и опорно-двигательной системы животных и человека.

Примерами вращающихся частей животных и человека являются плечелоктевые, надпястные и фаланговые соединения, соединения шейных позвонков и т.д. Это свидетельствует о важности изучения законов вращательного движения и умения определять характеристики вращающихся тел и их частей.

Одной из таких характеристик является момент инерции.

Удобной абстрактной моделью для установления законов динамики вращательного движения является абсолютно твердое тело.

Абсолютно твердым называется тело, форма и размеры которого не изменяются при его движении.

В динамике поступательного движения кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы.

При изучении динамики вращательного движения вводятся физические величины - момент силы и момент инерции.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в т. А, приходит во вращение вокруг оси (рис.1).

Вращающее действие оказывает только сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Если сила действует под некоторым углом к плоскости вращения, то её можно разложить на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а другая параллельная этой оси и не влияет на вращение тела.

Рис. 1.

Поэтому будем рассматривать только силы, лежащие в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Вращающее действие силы зависит не только от её величины, но и от её направления и точки приложения, т.е. от момента силы.

Момент силы относительно оси вращения есть величина, численно равная произведению силы на её плечо М = (1).

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила (рис.1б).

Момент силы есть величина векторная, и измеряется в .

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от её распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности

тела при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности, центры которых лежат на оси вращения. Пусть точка массой m_i описывает окружность радиусом r_i.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения равен произведению массы точки на квадрат радиуса окружности, описываемой точкой

(2).

Момент инерции вращающегося твердого тела равен сумме моментов инерции материальных точек, составляющих тело

(3).

Момент инерции измеряется в , величина скалярная.

Величина момента инерции твердого тела зависит от формы, размеров. Массы тела и положения оси вращения. Для тел правильной геометрической формы момент инерции относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела, вычисляется по формулам:

J_обруча = mr² (4),

J_диска = (5),

J_шара = (6), где m – масса тела,

r – радиус тела.

J_{стержня}= (7), где l – длина стержня.

Если ось вращения не проходит через центр масс (рис 2.), то момент инерции определяется по теореме Штейнера:

(8),

где J₀ – момент инерции тела относительно

оси, проходящей через центр масс;

d – расстояние от оси вращения до оси,

проходящей через центр масс;

m – масса тела.

Под действием вращающей силы тело приобретает угловое ускорение . Рис. 2

. Угловое ускорение характеризует быстроту изменения угловой скорости. Оно равно производной угловой скорости по времени, т.е.

(9).

Измеряется в рад/с². Величина векторная. При ускоренном вращении совпадает с вектором угловой скорости, при замедленном – противоположно ей.

Связь между угловым ускорением , моментом вращающей силы М и моментом инерции J определяется основным уравнением динамики вращательного движения, являющимся аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения:

Угловое ускорение, приобретенное телом при его вращении вокруг неподвижной оси, прямо пропорционально моменту вращающей силы и обратно пропорционально моменту инерции тела

(10).

Исходя из этого уравнения, момент инерции тела равен

(11).

Таким образом, задача сводится к экспериментальному определению момента силы и углового ускорения, сообщаемого телу.

1. Силы в механике: сила тяжести, сила упругости, сила трения.

Закон всемирного тяготения был открыт И. Ньютоном в 1682 году. Еще в 1665 году 23-летний Ньютон высказал предположение, что силы, удерживающие Луну на ее орбите, той же природы, что и силы, заставляющие яблоко падать на Землю. По его гипотезе между всеми телами Вселенной действуют силы притяжения (гравитационные силы), направленные по линии, соединяющей центры масс (рис. 1.10.1). У тела в виде однородного шара центр масс совпадает с центром шара.

Рисунок 1.10.1. Гравитационные силы притяжения между телами.

Все тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G одинаков для всех тел в природе. Его называют гравитационной постоянной

Многие явления в природе объясняются действием сил всемирного тяготения. Движение планет в Солнечной системе, движение искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все эти явления находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести. Так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности. Если М – масса Земли, R_З – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли:

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения. Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с². Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (R_З = 6,38·10⁶ м), можно вычислить массу Земли М:

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Рис. 1.10.2 иллюстрирует изменение силы тяготения, действующей на космонавта в космическом корабле при его удалении от Земли. Сила, с которой космонавт притягивается к Земле вблизи ее поверхности, принята равной 700 Н.

Рисунок 1.10.2. Изменение силы тяготения, действующей на космонавта при удалении от Земли.

Силу тяжести с которой тела притягиваются к Земле, нужно отличать от веса тела. Понятие веса широко используется в повседневной жизни.

Весом тела называют силу, с которой тело вследствие его притяжения к Земле действует на опору или подвес. При этом предполагается, что тело неподвижно относительно опоры или подвеса. Пусть тело лежит на неподвижном относительно Земли горизонтальном столе (рис. 1.11.1). Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. На тело действуют сила тяжести направленная вертикально вниз, и сила упругости с которой опора действует на тело. Силу называют силой нормального давления или силой реакции опоры. Силы, действующие на тело, уравновешивают друг друга: В соответствии с третьим законом Ньютона тело действует на опору с некоторой силой равной по модулю силе реакции опоры и направленной в противоположную сторону: По определению, сила и называется весом тела. Из приведенных выше соотношений видно, что т. е. вес тела равен силе тяжести Но эти силы приложены к разным телам!

Рисунок 1.11.1. Вес тела и сила тяжести. – сила тяжести, – сила реакции опоры, – сила давления тела на опору (вес тела).

Сила упругости. window.top.document.title = "1.12. Сила упругости. Закон Гука";

При деформации тела возникает сила, которая стремится восстановить прежние размеры и форму тела. Эта сила возникает вследствие электромагнитного взаимодействия между атомами и молекулами вещества. Ее называют силой упругости. Простейшим видом деформации является деформация растяжения или сжатия (рис. 1.12.1).

Рисунок 1.12.1. Деформация растяжения (x > 0) и сжатия (x < 0). Внешняя сила

При малых деформациях (|x| << l) сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения частиц тела при деформации:

Сила трения window.top.document.title = "1.13. Сила трения";

Трение – один из видов взаимодействия тел. Оно возникает при соприкосновении двух тел. Трение, как и все другие виды взаимодействия, подчиняется третьему закону Ньютона: если на одно из тел действует сила трения, то такая же по модулю, но направленная в противоположную сторону сила действует и на второе тело. Силы трения, как и упругие силы, имеют электромагнитную природу. Они возникают вследствие взаимодействия между атомами и молекулами соприкасающихся тел.

Силами сухого трения называют силы, возникающие при соприкосновении двух твердых тел при отсутствии между ними жидкой или газообразной прослойки. Они всегда направлены по касательной к соприкасающимся поверхностям.

Сухое трение, возникающее при относительном покое тел, называют трением покоя. Сила трения покоя всегда равна по величине внешней силе и направлена в противоположную сторону (рис. 1.13.1).

Рисунок 1.13.1. Сила трения покоя (υ = 0).

Сила трения покоя не может превышать некоторого максимального значения (F_тр)_max. Если внешняя сила больше (F_тр)_max, возникает относительное проскальзывание. Силу трения в этом случае называют силой трения скольжения. Она всегда направлена в сторону, противоположную направлению движения и, вообще говоря, зависит от относительной скорости тел. Опыт показывает, что сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления тела на опору, а следовательно, и силе реакции опоры

Коэффициент пропорциональности μ называют коэффициентом трения скольжения.

Коэффициент трения μ – величина безразмерная. Обычно коэффициент трения меньше единицы. Он зависит от материалов соприкасающихся тел и от качества обработки поверхностей. При скольжении сила трения направлена по касательной к соприкасающимся поверхностям в сторону, противоположную относительной скорости (рис. 1.13.3).

Рисунок 1.13.3. Силы трения при скольжении (υ ≠ 0). – сила реакции опоры, – вес тела, .