Інтегрування частинами

Таблиця 1

.	. a – дійсне число
.	.

Таблиця 2

Це перетворення таблиці 1 за допомогою властивостей 7 а),б). (зберігаєтся нумерація таблиці 1)

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. . 16. .

Таблица 3

2. .

3. .

4.

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12.

13. .

14. .

15. .

16. .

Вправи на застосування таблиць інтегралів

Після розгляду наведених нижче прикладів рекомендується переписати їх умови і розв’язати самостійно, записуючи по памяті необхідну для цього формулу.

I. Інтеграли вигляду

Довідка. При інтегруванні степеневих функцій приходиться добуток і частку різних степенів змінної зводити до одного степеня з раціональним показником:

1. 2.

3. 4.

5. 6. 7.

8. 9.

В співвідношеннях 6) - 9) - натуральне, - ціле, а в співвідношеннях 1) - 4) - довільні дійсні числа.

Зауваження. Нижче будуть використовуватись скорочення при посиланні на таблиці, наприклад, Т3(7): таблиця 3 (формула 7), або посилання на довідку, наприклад, Д9: довідка (формула 9).

.

II. Інтеграли вигляду

.

.

III. Інтеграли вигляду

IV. Інтеграли вигляду

V. Інтеграли вигляду

Приклади. Користуючись властивостями та таблицями 1-3, знайти інтеграли. Результати перевірити за допомогою дифереціювання.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

В прикладах 58-73 підінтегральні вирази зводяться до табличних після додаткових перетворень

Інтегрування частинами

Теорема. Нехай функції U=U(x) i V=V(x) диференційовні на деякому інтервалі (a, b), тоді на (a, b) виконується рівність

(1)

Доведення. Із власивостей диференціала відомо:

.

Перейшовши до інтегралів, отримаємо рівність (1).

Приклад 1.

Інтегруємо частинами за формулою (1)

Візьмемо

, тоді