Вправи до розділу

1.	Обчислити значення функцій:
	а)	при ;
	б)	в точці ;
	в)	при .
		Відповіді: а) 24; б) 6; в) 5/3.

Визначити та зобразити область існування таких функцій:
2.	.	3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
	Відповіді: 2. Уся площина. 3. Уся площина за винятком прямої . 4. Уся площина за винятком кола . 5. Круг радиуса 2 разом з його контуром. 6. кут між прямими .

Знайти точки розриву функцій:
7.	.	8.	.	9.	.
	Відповіді: 7. (0;0). 8. (0;2). 9. Пряма .

Знайти границі функцій:
10.	.	11.	.
12.	.
	Відповіді: 10. 3. 11. 4. 12. 2.

Накреслити лінії рівня функцій:
13.	.	14.	.	15.	.
16.	.
	Відповіді: 13. Сім’я парабол . 14. Сім’я концентрических кіл. 15. Сім’я рівнобічних гіпербол з асимптотами . 16. Сім’я паралельних прямих.

Знайти частинні похідні від функцій:
17.	.
18.	.	19.	.
20.	.	21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
	Відповіді:
17.	.
18.	.
19.	.
20.	.
21.	.
22.	.
23.	.
24.	.
25.	.
26.

27.	Показати, що , коли .
28.	Показати, що , коли .
29.	Показати, що , коли .

Знайти повні диференціали функцій:
30.	.	31.	.	32.	.
33.	.	34.	.
	Відповіді:
30.	.
31.	.
32.	.
33.	.
34.	.

	Обчислити значення повного диференціала
35.	при
36.	при
37.	при
	Відповіді:	35.	0,075	36.	1/30	37.	0,004

Обчислити наближені значення:
38.	.	39.		40.
41.
	Відповіді:	38.	1,08	39.	10,05	40.	1,00
		41.	-0,03

42.	З якими абсолютною та відносною похибками обчислено об’єм циліндра, якщо радіус основи , а висота .
	Відповідь:

	Для заданих складних функцій знайти указані похідні:
43.	Знайти .
44.	. Знайти .
45.	Знайти .
46.	. Знайти .
47.	Знайти .
48.	Знайти .
49.	. Знайти .
	Відповіді:
43.	.	44. .
45.		46.
47.	.
48.	.
49.

	Знайти похідні неявних функцій:
50.	. Знайти .
51.	. Знайти .
52.	. Знайти .
53.	Знайти .
54.	. Знайти .
55.	. Знайти .
	Відповіді:
50.	.	51. .
52.	.	53. .
54.	.
55.	.

	Знайти частинні похідні другого порядку:
56.	.	57. .
58.	, .
	Відповіді:
56.	.
57.	.
58.	.
59.	Довести, що якщо , то .
60.	Довести, що якщо , то .

	Знайти похідні функцій в заданих точках у заданих напрямах:
61.	в точці в напрямі відрізка , де .
62.	в точці в напрямі вектора .
63.	в точці в напрямі від до .
64.	Знайти величину й напрям градієнта функції у точці .В яких точках ?
65.	Знайти кут між градієнтами функцій і у точці .
	Знайти найбільшу швидкість зрастання функції в точці .
67.	Знайти величину і напрям градієнта функції у точці . Визначити, в яких точках він перпендикулярний до осі , та в яких дорівнює нулеві.
	Відповіді:
61.	1/5.	62.	26.	63.	.
64.	, ; , , , .
65.	.	66.	.
67.	. . У точках конуса – перпендикулярний ; при - дорівнює нулю.

	Скласти рівняння дотичної площини та рівняння нормалі до поверхні:
68.	у точці .
69.	у точці .
70.	у точці .
71.	До поверхні провести дотичну площину, яка проходить через точку паралельно до прямої .
72.	Провести до еліпсоїда дотичну площину, яка паралельна до площини .
	Відповіді:
68.	.
69.	.
70.	.
71.	. 72. .

	Знайти максимуми і мінімуми функцій:
73.	.
74.	.
75.	.
76.	.
77.	.
78.	.
79.	.
	Відповіді:
73.		74.		75.
76.	.
77.
78.	.
79.	В точці -екстремум не існує; , .

	Знайти найменше і найбільше значення для кожної з поданих функцій в указаній замкненій області :
80.	, - круг .
81.	, - круг .
82.	, - квадрат .
83.	, -трикутник .
84.	Із всіх трикутників, які мають периметр , знайти той, що має найбільшу площу.
85.	Із всіх прямокутних паралелепіпедів, що мають об’єм , знайти той, повна поверхня якого найменша.
86.	Із всіх прямокутних паралелепіпедів, повна поверхня яких дорівнює , знайти той, у якого найменший об’єм.
	Відповіді:
80.	.
81.
82.	.
83.	.
84.	Рівносторонній трикутник.
85.	Куб з ребром .
86.	Куб з ребром .

	Знайти екстремуми заданих функцій при відповідних умовах:
87.	при умові .
88.	при умові .
89.	при умові .
	Відповіді:
87.	.
88.
89.	.

Date: 2015-12-10; view: 417; Нарушение авторских прав