Умовний екстремум

Локальний екстремум функції двох змінних без будь-яких додаткових умов називається безумовним.

Якщо знаходиться екстремум функції за деяких додаткових умов, то він називається умовним.

Нехай треба знайти екстремум функції за умови . Якщо вважати, що функція описує поверхню, а

циліндр, то треба знайти екстремум не на всій поверхні, а тільки на лінії, яку вирізає з даної поверхні циліндрична поверхня (рис.13.1).

Рис.13.1.

Побудуємо допоміжну функцію трьох змінних, яка називається функцією Лагранжа: (13.1)

Необхідні умови екстремуму цієї функції мають вигляд:

або:

(13.2)

Для встановления виду умовного екстремуму досліджують знак другого повного диференціала функції Лагранжа

в знайдених із системи (13.2) критичних точках при умові, що і зв’язані рівнянням

.

Тоді функція має умовний максимум, якщо , і функція має умовний мінімум, якщо (див. 11.2⁰)

Приклад 11.1. Знайти екстремум функції за умови

За методом Лагранжа:

Запишемо необхідні умови екстремуму:

Звідки:

Знайдемо другий диференциал функції Лагранжа. Оскільки , , , то

.

Отже, функція має умовний мінімум в точці .

.