Основные определения и обозначения

Определение конечного предела функции в точке: число А называется пределом функции при если для любого найдется такое, что при 0 <

Обозначение: или при

Функция называется бесконечно малой (бесконечно большой) при если

Две бесконечно малые (бесконечно большие) функции и при называются эквивалентными, если

Обозначение:

Предел отношения бесконечно малых (бесконечно больших) функций не изменится, если каждую из них заменить эквивалентной функцией, т.е.

(10.1)

если

Отметим, что (С - константа)

Наиболее простым способом вычисления пределов является непосредственная подстановка вместо х числа а. При этом может получится какое-либо число, которое и является пределом. Например

.

Второй также несложный случай возникает, если при такой непосредственной подстановке одна из составляющих имеет предел равный ¥ и получаются следующие варианты (и их решение): С /¥ = 0, С /0 = ¥, ¥/0 = ¥, , . Например

.

В остальных случаях возникают так называемые неопределенности. По поведению функций пределы делятся на неопределенности вида: , Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются:

а) сокращение на множитель, создающий неопределенность;

б) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при );

в) применение эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших;

г) использование двух замечательных пределов:

(10.2)

10.2. Неопределенности вида 0/0

а) Рациональные выражения. В случае неопределенности 0/0 для рациональных выражений всегда применяется прием сокращения множителя, обращающегося в ноль. Для этого предварительно выделяется линейный множитель, который обращается в ноль. Для выделения линейного множителя находят корни квадратного трехчлена и разлагают его на множители.

Пример. Найти предел

Находим корни числителя х² - х - 6: х ₁ = 3, х ₂ = -2.Разлагаем его на множители х² - х - 6 = (х – 3)(х + 2). То же самое проделываем и для знаменателя: х ₁ = 3, х ₂ = -7/2, 2х² + х - 21 = 2(х – 3)(х + 7/2) =

= (х – 3)(2 х + 7). Подставим эти разложения в предел и сокращаем множители, обращающиеся в ноль:

б) Иррациональные выражения. Пределы вычисляются также сокращением множителя, обращающегося в предельной точке в ноль. Правда предварительно для этого иррациональное выражение домножают и делят на сопряженное выражение, т.е., если выражение имеет вид (a ± b), то его домножают и делят на (a b).

Пример. Найти предел

Домножим числитель и знаменатель на выражение , одновременно разлагая знаменатель на множители:

в) Выражения, содержащие тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Вычисление пределов в этом случае, как правило, проводится по следующим трем методикам:

1) использование первого замечательного предела

или эквивалентности:

sin a(x) ~ a(x) при a(x) ® 0 (x ® x ₀);

2) использование формул тригонометрии;

3) применение замены для сведения к первому замечательному преде-лу.

Примеры.

а) Найти предел

Воспользуемся приведенными эквивалентностями:

sin 5 x ~ 5 x, sin 2 x ~ 2 x при x ® 0.

Тогда

б) Найти предел

По формулам тригонометрии (1 - cos x = 2 sin² (x/ 2)) с учетом эквивалентности имеем

в) Найти предел

Для сведения к первому замечательному пределу сделаем две замены:

у = 1 /х, z = arcsin y:

г) Найти предел

Сделаем замену переменной: у = х + 2. Тогда (с учетом периодичности тангенса и эквивалентности)

г) Выражения, содержащие логарифмические и показательные функции. Основными приемами вычисления пределов в этом случае являются:

1) использование эквивалентностей

ln(1 + a(x)) ~ a(x), a ^{a (x)} - 1 ~ a(x)ln a при a(х) ® 0;

2) замена переменной для сведения к приведенным эквивалентностям.

Примеры.

а) Найти предел

б) Найти предел

=

10.3. Неопределенности вида ¥/¥

Основными примерами этой неопределенности являются рациональные функции, когда аргумент стремится к бесконечности. Решаются они вынесением в числителе и знаменателе наивысшей степени х и ее сокращением. При вычислении окончательного результата постоянно используется равенство С /¥ = 0 (C -константа).

Пример. Найти предел

Выносим наивысшую степень х в числителе и знаменателе:

10.4. Неопределенности вида ¥ - ¥, 0×¥, 0⁰, ¥⁰, 1^¥

Первые четыре неопределенности с помощью арифметических преобразований сводятся к рассмотренным ранее случаям. Особый интерес представляет последняя неопределенность. Для вычисления пределов с неопределенностью 1^¥ очень удобна следующая формула:

Примеры.

а) Найти предел

б) Найти предел

При вычислении подобных примеров наибольшую опасность представляет путаница, возникающая в связи с тем, что к определенным выражениям (типа (2/3)^¥ = 0) применяют формулу, как для неопределенности вида 1^¥. Например

или