Правило Крамера для решения системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть дана система уравнений

а ₁₁ х ₁ + а ₁₂ х ₂ = b ₁ (1)

a ₂₁ х ₁ + а ₂₂ х ₂ = b ₂.

Из коэффициентов при неизвестных можно составить определитель

.

Будем называть его определителем системы и обозначать символом .

Кроме нам понадобятся ещё два определителя:

Теорема (правило Крамера для системы ).

Если определитель системы (1) не равен 0, то система имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам:

(2)

Доказательство.

Умножая обе части первого уравнения системы на а ₂₂, второго на

– а ₁₁, а затем складывая полученные уравнения, имеем

(а ₁₁ а ₂₂ – а ₂₁ а ₁₂) х ₁ = b ₁ a ₂₂ – b ₂ a ₂₁,

или, что то же самое, Отсюда

Аналогично, умножая обе части первого уравнения на – а ₂₁, второго на а ₁₁, а затем складывая полученные уравнения, придём к уравнению

(a ₁₁ a ₂₂ – a ₂₁ a ₁₂) x ₂ = a₁₁b₂ – a ₂₁ b ₁,

или Отсюда

Т.о., мы показали, что если существует решение данной системы уравнений, то это решение определяется формулами (2). Теперь остаётся проверить, что числа действительно составляют решение системы, т.е. что справедливы равенства

Имеем

что доказывает первое из указанных равенств. Второе проверяется аналогично.

Пример. Решить систему уравнений

3х₁ – 5х₂ = 0

х₁ – 2х₂ = 1.

Имеем

следовательно,