Определители n-ного порядка

Рассмотрим квадратную таблицу, составленную из чисел. Такую таблицу называют квадратной матрицей порядка n.Число, стоящее в i – той строке и j – том столбце таблицы обозначают a _ij.

.

Выберем какие-либо n элементов так, чтобы они находились в разных строках и в разных столбцах. Условимся любой такой набор из n элементов матрицы называть допустимым.

Рассмотрим какой-то допустимый набор из n элементов. Расположим элементы этого набора в определённом порядке: сначала элемент , взятый из первой строки, затем элемент из второй строки и т.д.. Итак, расположим элементы допустимого набора в виде последовательности

(3)

Числа j₁,j₂,…,j_n – номера столбцов, которых находятся выбранные элементы; по условию эти числа различны. Следовательно, строка j₁,j₂,…,j_n не что иное, как набор чисел 1, 2, …, n, записанном в определённом порядке. Обозначим эту строку сокращённо через J. Итак,

J = (j₁,j₂,…,j_n)-

некоторая перестановка из чисел 1, 2, …, n.

Если теперь для каждого допустимого набора (3) составить произведение всех элементов, входящих в этот набор, умножить его на +1 или –1 в зависимости от чётности или нечётности перестановки J, а затем все такие произведения сложить, то получим выражение

которое называется определителем матрицы n –ого порядка.

Определение. Определителем матрицы (1) называют выражение

= (4)