Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Квадратичные формыПри решении многих задач приходится исследовать квадратичную форму: q ( где g симметрическая билинейная форма векторного пространства . Очевидно, что зная квадратичную форму, можно восстановить соответствующую билинейную форму g: g( . Таким образом, в некотором базисе симметрическая матрица G билинейной формы определяет не только билинейную форму, но и квадратичную форму (верно и обратное): q( (1) или то же самое в матричной форме: q (. (2) Совершим замену базиса на базис , используя матрицу перехода ,: . Подставив в (2), в новом базисе имеем: q (,то есть в новом базисе матрица квадратичной формы g имеет вид: (3) Если при этом матрица примет диагональный вид, то говорят, что квадратичная форма приведена к каноническому виду: q ( (4) Рангом квадратичной формы g( называется ранг матрицы G. В силу (3) ранг квадратичной формы не меняется при переходе к новому базису, т.к. матрицы и С – невырожденные. Квадратичная форма g называется невырожденной, если ее ранг равен размерности векторного пространства, в противном случае – вырожденной. Теорема. В векторном пространстве всегда существует такой базис, в которой квадратичная форма (1) имеет канонический вид: q (, (5) где r – ранг канонической формы. В силу теоремы § 36 существует базис в котором квадратичная форма g( имеет канонический вид (4), ее матрица примет диагональный вид: G= Так как квадратичная форма q имеет ранг r, то точно r коэффициентов отличны от нуля, а остальные равны нулю. Поэтому имеем q ( Следует заметить, что некоторые из коэффициентов могут быть отрицательными. Нормальной формой q ( называется ее представление в виде: q ( (6) Нормальная форма получена из канонической путем перехода к новому неортонормированному базису ,где . Число отрицательных коэффициентов в представлении (6) называется индексом этой квадратичной формы, обозначим его h. Разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов называется сигнатурой этой формы. Имеется следующее утверждение (закон инерции), которое приведем без доказательства. Теорема. Индекс(сигнатура) квадратичной формы не зависит от выбора базиса, в котором она имеет нормальный (канонический) вид. Квадратичная форма q ( является положительно (отрицательно) определенной, если для любого выполняется q (. Очевидно, для того чтобы q была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты канонической формы были положительными. Для определения знакоопределенности квадратичной формы q (, без приведения к канонической форме, можно применить критерий Сильвестра: для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы G=( были положительными, т.е (
|