Свойства определителей n-ого порядка

Определитель не изменится, если поменять местами строки и столбцы.

Поэтому приводимые ниже свойства определителей формулируются для строк, для столбцов свойства аналогичны.

1.Если какая-либо строка определителя состоит из нулей, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства достаточно разложить определитель по элементам данной строки.

2. При перестановке двух строк определитель умножается на –1.

3. Определитель, содержащий две одинаковые строки равен 0.

4. Общий множитель элементов любой строки можно выносить за знак определителя.

= k .

5. Если каждый элемент некоторой строки представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, в каждом из которых все элементы те же, что и в исходном определителе, за исключением элементов указанной строки. В первом определителе указанная строка состоит из первых слагаемых, во втором – из вторых. Например,

= + .

6. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число. Например,

= .

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения к соответственным элементам другой строки равна 0. Например, а ₂₁А₁₁ + а ₂₂А₁₂ + … + а _2nA_{1 n} =0.

Пример. Вычислить определитель

= .