Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что

(1)

Число называется собственным значением оператора (или матрицы А), соответствующим вектору . Очевидно, что образ собственного вектора коллинеарен прообразу.

Из равенства (1) имеем:

, т.е.

Перепишем эту систему так:

(2)

или в матричной форме

(3)

Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы det . (4)

Уравнение (4) является алгебраическим уравнением n -ой степени и называется характеристическим уравнением оператора (или матрицы А). Левая часть (4) называется характеристическим многочленом оператора или матрицы А.

Таким образом, собственные значения линейного оператора совпадают с корнями его характеристического уравнения. Значит, линейный оператор не может иметь более n различных собственных значений.

В силу инвариантности вектора, т.е. независимости от выбора базиса, х арактеристическое уравнение оператора не зависит от выбора базиса.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора , заданного матрицей .

Решим характеристическое уравнение:

.

Собственные значения: , находим собственные векторы:

1) ,

,

2)

.