Конические поверхности второго порядка

Конической поверхностью или конусом с вершиной S называется поверхность, которая обладает тем свойством, что вместе с каждой своей точкой М, отличной от точки S, эта поверхность содержит прямую (SМ).

Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующими этого конуса.

Коническая поверхность может быть получена следующим образом. Рассмотрим в пространстве линию и точку S, не лежащую на линии . Множество F всех точек М пространства, принадлежащих тем прямым, которые пересекают линию и проходят через точку S, образуют коническую поверхность. Линия называется направляющей конической поверхности.

В системе координат уравнение конической поверхности F с вершиной О, направляющей которой служит эллипс :

имеет вид: .

Очевидно, что это уравнение определяет поверхность второго порядка и называется каноническим уравнением конической поверхности второго порядка. В случае, когда направляющая конической поверхности второго порядка является окружностью, т.е. когда , получаем: – уравнение круговой конической поверхности. Следует отметить, что плоскость может быть рассмотрена как (вырожденная) коническая поверхность

P1         Рис.34

Пусть плоскость П не проходит через вершину (невырожденного) конуса второго порядка F. Тогда плоскость П пересекает конус F либо по эллипсу, если П пересекает все образующие конуса, либо по гиперболе, если П параллельна двум образующим, либо по параболе, если П параллельна только одной образующей конуса (утверждение примем без доказательства). Учитывая это, эллипс, гиперболу и параболу называют коническими сечениями.

Date: 2015-12-10; view: 628; Нарушение авторских прав