Система линейных однородных уравнений

Систему линейных уравнений называют системой линейных однородных уравнений, если все свободные члены равны нулю:

(1)

Однородная система всегда совместна, т.к. набор является решением системы. Это решение называется нулевым.

Когда однородная система линейных уравнений имеет не только нулевое решение?

Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r

её основной матрицы был меньше числа n неизвестных.

Необходимость. Пусть , т.к не может быть больше . Тогда, решая систему методом Гаусса, получаем единственное решение, т.к. система определенная (нет свободных переменных). Значит, найденное решение нулевое. Поэтому, если есть ненулевое решение, то .

Достаточность. Пусть , то система совместна и является неопределенной. Значит, она имеет более одного решения, в том числе и нулевое решение.

Пример. Решить систему линейных однородных уравнений.

Решение:

n =3 – число неизвестных.

~ , rang А= 2 < n, значит, система имеет бесчисленное множество решений.

, ; , имеем: , .

Общее решение:

Заметим, что .