Правило Крамера. Матричный способ решения системы линейных уравнений

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, у которой основная матрица невырожденная:

(1)

Систему (1)можно записать в матричном виде:

А∙Х = В, (2)

где А = ; Х = ; В =

Умножив слева обе части равенства (2)на обратную матрицу А^-1, получим: . Поскольку и , то

Х = А^-1∙В. (3)

Отыскание решения системы по формуле (3 ) называют матричным способом решения системы. Матричное решение (3)запишем в виде

= , где - определитель основной матрицы системы (1). Откуда

= , т.е.

Заметим, что есть разложение определителя

.

Определитель получен из определителя заменой первого столбца столбцом из свободных членов, аналогично - определитель, полученный из заменой второго столбца столбцом свободных членов и т.д.

Таким образом, система (1) равносильна системе:

(4)

т.е. . (5)

Формулы (4), (5)называют формулами Крамера, решение системы рассмотренным способом (4), (5) называют правилом Крамера.