Приклад 1

Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння .

Розв’язання.

Так як , то .

Домножимо обидві частини рівняння на : .

Відокремимо змінні поділивши обидві частини рівняння на функцію , що э ненульовою:

.

Знайдемо кожен інтеграл окремо та результати прирівняємо:

а)

(тут сталу інтегрування записано у логарифмічній формі для зручності)

б)

в)

– загальний розв’язок. Приклад 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння

.

Розв’язання.

Зведемо задане рівняння до виду (7), тобто поділимо його обидві частини на x: .

Так як права частина рівняння – однорідна функція, то це рівняння однорідне і інтегрується заміною (8): , .

Маємо:

.

Приклад 3. Знайти розв’язок задачі Коші

Розв’язання.

Спочатку знайдемо загальний розв’язок рівняння. Так як дане диференціальне рівняння – лінійне, то вводимо заміну (10)

.

Отримаємо:

. (13)

Прирівнюємо вираз в дужках до нуля і знайдемо функцію u (x):

Підставляємо знайдену функцію u (x) в рівняння (13) і знайдемо функцію v (x):

Отже, загальний розв’язок даного рівняння такий

Для знаходження частинного розв’язку підставимо задані значення змінних (початкові умови) в знайдений загальний розв’язок рівняння, звідки знайдемо значення довільної сталої С:

Значення сталої С підставляємо у загальний розв’язок рівняння і записуємо шуканий частинний розв’язок:

Завдання до виконання: