Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Умножение и деление комплексных чисел проще выполнять, если они записаны в тригонометрической форме. Действительно, пусть комплексные числа и заданы в тригонометрической форме

, .

Перемножив их, получим

.

Откуда, используя формулы косинуса и синуса суммы, находим

.

Итак, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы – складываются.

Формула является верной для любого конечного числа множителей. В частности, при возведении числа в степень () получим .

Последнее выражение называют формулой Муавра.

Теперь разделим на . Получим

.

Но , следовательно,

.

Используя формулы для косинуса и синуса разности, находим

.

Итак, при делении на получили комплексное число, модуль которого равен частному , а аргумент – разности ().

Пример 1.5. Даны числа , . Найти их произведение, частное, число возвести в 5 степень.

Решение.

1) Произведение .

2) Частное .

3) Возведение в степень .

Date: 2015-10-19; view: 402; Нарушение авторских прав