Решение. Введенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойствами, что сложение и умножение действительных чисел

1) Сумма чисел .

2) Разность чисел .

3) Произведение чисел

.

4) .

Введенные выше операции сложения и умножения комплексных чисел обладают теми же свойствами, что сложение и умножение действительных чисел. Легко убедиться в справедливости следующих равенств:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Замечание. Комплексному числу на комплексной плоскости ставится в соответствие точка . Однако, можно поставить ему в соответствие и радиус-вектор . Такое соответствие тоже является взаимно однозначным, причем в этом случае операции сложения и вычитания комплексных чисел естественны с геометрической точки зрения.

Действительно, сумме соответствует вектор (где , ), а разности соответствует вектор .

Операцию деления комплексных чисел вводят как обратную умножению: комплексное число называется частным чисел и (обозначают ), если .

Пусть , и . Тогда

.

Из уравнений и находим

и .

Таким образом, .

Замечание. Тот же результат формально получится, если числитель и знаменатель дроби умножить на число, сопряженное знаменателю, т.е. на .

.

В практических вычислениях пользуются именно этим приемом.

Пример 1.4 Даны числа , , найти их частное.