Методы подбора эмпирических формул

В процессе экспериментальных исследований получается статистический ряд измерений двух величин, когда каждому значению функции y_1, y₂, y_n соответствует определенное значение x₁, x₂,.., Хп. На основе экспериментальных данных можно подобрать алгебраические выражения функции

y = f(x), (8.13)

которые называют эмпирическими формулами. Такие формулы подбираются лишь в пределах измеренных значений аргумента х₁ – x_n и имеют тем большую ценность, чем больше соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе эмпирических формул воз­никает во многих случаях. Так, если аналитическое выражение (8.13) сложное, требует громоздких вычислений, составления программ для ЭВМ или вообще не имеет аналитического выражения, то эффективнее пользоваться упрощенной приближенной эмпирической формулой.

Эмпирические формулы должны быть по возможности наиболее простыми и точно соответствовать экспери­ментальным данным в пределах изменения аргумента. Таким образом,

Эмпирические формулы являются приближенными выражениями аналитических формул. Замену точных аналитических выражений приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а функции — аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. Вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений:

y = а + bх, (8.14)

где а, b – постоянные коэффициенты. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности стремиться к использованию линейной функции. Для этого применяют метод выравнивания, заключающийся в том, что кривую, построенную по экспериментальным точкам, представляют линейной функцией.

Для преобразования некоторой кривой (8.13) в прямую линию вводят новые переменные:

Х = f₁(х, у), У = f₂(х, у). (8.15)

Рисунок 8.2 – Графическое определение параметров x и y

В искомом уравнении они должны быть связаны ли­нейной зависимостью

У = а + bХ. (8.17)

Для определения параметров прямой можно применить также другой графический метод. В уравнение (8.17) подставляют координаты двух крайних точек, взятых с графика. Получают систему двух уравнений, из которых вычисляют а и b. После установления параметров а и b получают эмпирическую формулу (8.16), которая связывает У и X, позволяет установить функциональную связь между х и у и эмпирическую зависимость (8.14).

Таким образом, аппроксимация экспериментальных данных прямолинейными функциями позволяет просто и быстро установить вид эмпирических формул.

Графический метод выравнивания может быть применен в тех случаях, когда экспериментальная кривая на сетке прямоугольных координат имеет вид плавной кривой.