Вычисление площади плоской фигуры

Если интегрируемая на отрезке [a;b] функция f(x) неотрицательна, то определённый интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции f(x), осью абсцисс и прямыми х=а, х= b.

Если фигура ограничена двумя кривыми y=f(x), y=g(x) и прямыми х=а, х= b, где a≤x≤b и f(x)≤g(x), то её площадь вычисляется по формуле:

Пример 25

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой

Решение: Построим графики функций:

Видно, что они пересекаются в двух точках, абсциссы которых х=-3 и х=6. На отрезке [-3;6] выше проходит график функции , поэтому

Ответ: площадь фигуры 13,5 (ед²).

Нахождение длины дуги кривой

Пусть кривая АВ задана уравнением y=f(x) и переменная х определена на отрезке [а,b], причём f(x) – непрерывная функция на этом промежутке. Тогда длина дуги вычисляется по формуле: