Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Основные теоремы о пределах
Приведем основные теоремы, на которых основано вычисление пределов: 1. 2. 3. 4. 5. 6.
! Все правила имеют смысл, если пределы функций и существуют.
Техника вычисления пределов При вычислении предела элементарной функции f(x) приходится сталкиваться с двумя существенно различными типами примеров. · Функция f(x) определена в предельной точке x = a. Тогда . · Функция f(x) в предельной точке x = a не определена или же вычисляется предел функции при x→∞. Тогда вычисление предела требует в каждом случае индивидуального подхода. Необходимо помнить, что , , , , , . Более сложными случаями нахождения предела являются такие, когда функция f(x) в точке x = a или при x→∞ представляет собой неопределенность (типа , , , , , , ). При вычислении пределов при основные теоремы о пределах сохраняют силу и, кроме того, используются правила: а) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наибольшую степень переменной; б) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби разделить на наименьшую степень переменной; в) чтобы раскрыть неопределенность типа , иногда достаточно числить и знаменатель дроби разложить на множители и затем сократить дробь на множитель, приводящий к неопределенности; г) чтобы раскрыть неопределенность типа , зависящую от иррациональности, достаточно перевести иррациональность из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель и сократить на множитель, приводящий к неопределенности; д) чтобы раскрыть неопределенность типа , необходимо числитель и знаменатель дроби одновременно умножить на сопряженное выражение и тем самым свести к неопределенности вида или . Рассмотрим некоторые примеры.
Вычислить пределы функций: Пример 1:
Пример 2: Пример 3: = Пример 4:
Пример5:
Вопросы для самопроверки: 1. Что называется функцией? 2. Что такое область определения и область значений функции 3. Перечислите способы задания функций, их достоинства. 4. Перечислите основные свойства функций. 5. Дайте определение предела функции в точке. 6. Какая функция называется непрерывной в точке? 7. Сформулируйте основные свойства пределов. 8. Как раскрывается неопределенность вида , ?
Дифференциальное исчисление
Понятие производной Определение: Производной функции по аргументу x называется предел отношения ее приращения к приращению аргумента x, когда приращение аргумента стремится к нулю: . Если этот предел конечный, то функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x. Если же этотпредел есть ∞, то говорят, что функция y=f(x) имеет в точке x бесконечную производную.
Механический смысл производной: скорость есть первая производная пути по времени, т.е. . Геометрический смысл производной: тангенс угла наклона касательной к графику функции равен первой производной этой функции, вычисленной в точке касания, т.е. Уравнение касательнойк графику функции в точке : Уравнение нормали к графику функции в точке :
Таблица производных
Процесс нахождения производных называется дифференцированием функции.
Рассмотрим примеры. Найти производные функций: Пример 1: Решение: +
Пример2: Решение: Пример 3: Решение:
|